Extrema (Lagrange-Multiplikator)

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Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema (Lagrange-Multiplikator)
Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben sei eine TAYLOR-Approximation
Einer P&L Funktion auf der abgeschlossenen MAHALANOBIS-Kreisscheibe
.
1.Bestimmen Sie bitte alle vier kritischen Stellen, an denen Ableitung von K notwendige Extrema von f ist.
2.Geben sie das globale Minimum von f auf K an und begründen Sie außerdem noch, warum ein solches K für f exisitieren muss.
Ich habe in Teil 1 die kritischen Punkte berechnen und bin auf was laut Lösung richtig sein soll aber setzt mein Prof die kritischen Stellen in die Funktion f ein und erzählt somit seine lokalen Extremstellen. Meine Frage ist kann man das immer machen oder gibt es dafür Bedingungen und wie erhält man die globalen Extrema? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema (Lagrange-Multiplikator)
ist ein kompaktes Gebiet. Die globalen Extrema einer auf definierten Funktion können lokale Extrema oder Randextrema sein. Du hast nur die kritischen Stellen auf dem Rand von bestimmt, also unter der Nebenbedingung . Es fehlt die Bestimmung der kritischen Stellen für lokale Extrema. Hat man alle kritischen Stellen für lokale und für Randextrema bestimmt, müssen die globalen Extrema auf einer oder mehreren dieser kritischen Stellen angenommen werden.
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok. Wie erhalte ich denn die restlichen kritischen stellen also die für die lokalen Extrema? verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Im Innern des Gebiets sind Kandidaten für lokale Extrema die Nullstellen des Gradienten von .
Die gefundenen Stellen untersuchst Du dann mit den Definitheits-Kriterien der Hesse-Matrix.
Ist Dir das Vorgehen geläufig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Die gefundenen Stellen untersuchst Du dann mit den Definitheits-Kriterien der Hesse-Matrix.

Wenn man nur die globalen Extrema sucht, ist die Betrachtung der Hesse-Matrix nicht notwendig. Die globalen Extrema müssen sich zwingend auf einem der Kandidatenpunkte für lokale oder Randextrema befinden.

Zur Illustration noch die Positionen, an denen das globale Minimum (grün) und das globale Maximum (blau) angenommen wird.

[attach]49018[/attach]
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich denke ich habs endlich. Ich habe nun auch die anderen kritischen Punkte berechnet und erhalte , . Der Punkt ist ein lokales Minimum. Wenn ich nun und vergleiche sehe ich das kleiner ist und der globale Minimum im Punkt sein muss. Stimmt das? verwirrt
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt.
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