Erwartungswert berechnen

15.03.2019, 18:30	het	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert berechnen Wie berechnet man für $\begin{eqnarray} X(t)=A\cos(t)+B\sin(t), t \ge 0 \end{eqnarray}$ den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X(t_1)X(t_2)) \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} A, B \end{eqnarray}$ sind dabei unabhängig und $\begin{eqnarray} N(0,1) \end{eqnarray}$ verteilt
15.03.2019, 19:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na setz doch einfach ein und nutze dann die Linearität des Erwartungswerts: $\begin{eqnarray} E(X(t_1)X(t_2)) = E\left((A\cos(t_1)+B\sin(t_1))(A\cos(t_2)+B\sin(t_2)\right) = \cos(t_1)\cos(t_2)E(A^2) + (\cos(t_1)\sin(t_2)+\sin(t_1)\cos(t_2))E(AB) + \sin(t_1)\sin(t_2)E(B^2) \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} E(A^2) = V(A)+(E(A))^2 = 1+0 = 1 \end{eqnarray}$ und analog $\begin{eqnarray} E(B^2)=1 \end{eqnarray}$ , außerdem $\begin{eqnarray} E(AB)=E(A)E(B)=0 \end{eqnarray}$ . Dies eingesetzt kommt man zum Ergebnis, welches sich unter Einsatz des Kosinusadditionstheorems noch etwas kompakter schreiben lässt...

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