Diagonalisierbarkeit bestimmen, aber ohne Eigenwerte zu berechnen

15.03.2019, 22:41

StudentMitFragen

Diagonalisierbarkeit bestimmen, aber ohne Eigenwerte zu berechnen

Wie im Titel steht, soll man bei einigen Matrizen sehen können, dass sie diagonalisierbar sind, ohne die Eigenwerte zu bestimmen. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir ist bekannt, wie man normalerweise diagonalisiert, nämlich Eigenwerte berechnen und algebraische Vielfachheit mit geometrischer vergleichen (diese müssen übereinstimmen). Nur berechet man dazu ja eben die Eigenwerte, was ich in dieser Aufgabe nicht tun soll.

Wie genau sehe ich das denn sonst? verwirrt

15.03.2019, 23:58

Helferlein

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Fällt Dir an der Matrix denn etwas auf? Es handelt sich nicht um eine x-beliebige.

Als zusätzlichen Hinweis gebe ich Dir zwei weitere Matrizen an, die ebenfalls diagonalisierbar sind:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&4\\4&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2&1\\1&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.03.2019, 14:00

HNF

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Hallo,
Bei deiner Matrix handelt es sich um eine Matrix die gleich ihrer Transponierten entspricht. Ferner sind die Einträge der Matrix Element der reellen Zahlen. Daraus folgt, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Sie ist sogar orthogonal diagonalisierbar, wenn die Eigenvektoren verschieden sind.

16.03.2019, 16:29

Helferlein

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@HNF: Genau das hätte StudentmitFragen selber herausfinden sollen. Aber schön, dass Du ihm die Arbeit abgenommen hast. unglücklich

16.03.2019, 22:41

klauss

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In diesem Zusammenhang habe ich mich gefragt, ob man auch bei nicht symmetrischen (2x2)-Matrizen generell die Diagonalisierbarkeit mit Determinante, Spur und linearer Unabhängigkeit unterschiedlicher Eigenvektoren begründen kann, ohne die Eigenvektoren konkret auszurechnen.
Dann könnte ich mir jederzeit spontan eine Matrix wie z. B.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ausdenken und ohne weitere Rechnung behaupten, dass sie diagonalisierbar ist.
Geht das oder ist noch mehr zu beachten?

17.03.2019, 00:34

Helferlein

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Das geht schon, denn das charakteristische Polynom einer 2x2-Matrix A hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} \chi_A(t)=t^2-Spur(A)t+det(A) \end{eqnarray*}$

Somit gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte, sofern $\begin{eqnarray*} \frac{(Spur(A))²}{4}-det(A)>0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} det(A)<\left(\frac{Spur(A)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

17.03.2019, 00:59

klauss

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Danke. Das ist dann die allgemeingültige Begründung (hätte ich mir auch die Mühe machen können, es selbst nachzurechnen...).
Jedenfalls bestätigt das meine Auffassung auch speziell insofern, als ich gezielt eine Matrix mit negativer Determinante gewählt habe, was nach der erhaltenen Bedingung dann ja ein sicheres Kriterium ist.

18.03.2019, 22:31

StudentMitFragen

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Zitat:

Original von Helferlein
@HNF: Genau das hätte StudentmitFragen selber herausfinden sollen. Aber schön, dass Du ihm die Arbeit abgenommen hast. unglücklich

Keine Sorge, ich habe das letzte mal nur deine Antwort gesehen und das schon selber gelöst. Dass die Matrizen symmetrisch sind, war mir schon bewusst, allerdings hatte ich noch eine komplexe Matrix gegeben, wo die Transponierte eben nicht mit der Ursprungsmatrix übereinstimmte und daher war ich verwirrt. Dann habe ich allerdings herausgefunden, dass bei Komplexen Matrizen Selbstadjungiertheit gelten muss, also noch eine komplexe Konjugation nach (oder vor) dem Transponieren fehlte. Prost

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