Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion

17.03.2019, 10:52

GorillaHoden

Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion

Ich schreibe demnächst meine Mathe Prüfung, deshalb übe ich mit Klausurrekonstruktionen. Leider sind die Lösungen nicht mit angegeben, daher hier meine Frage.

Ich bin an den Punkt

[latex]2 - \frac{1}{n+1}(1+\frac{1}{n} - \frac{ln(n+1)}{(n+1)x^{2} })

So ich hab keine Ahnung wie ich weiter machen soll ich muss zeigen dass der Ausdruck in der Klammer gößer ist als 1, dadurch hätte ich die Aufgabe gelöst. Dazu müsste 1/n >= ln(n+1)/(n+1)^2 sein. Keine Ahnung ob ich das noch Umformen muss. Ich hab mehrere Umformungen vorgenommen aber nichts scheint eindeutig zu sein diese Form scheint am bessten.

Edit: Was hab ich Falsch gemacht beim Formeleditor Wieso sieht man die Funktion nicht?

17.03.2019, 11:04

Elvis

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion

Zitat:

Original von GorillaHoden
Ich schreibe demnächst meine Mathe Prüfung, deshalb übe ich mit Klausurrekonstruktionen. Leider sind die Lösungen nicht mit angegeben, daher hier meine Frage.

Ich bin an den Punkt

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{1}{n+1}(1+\frac{1}{n} - \frac{ln(n+1)}{(n+1)x^{2} }) \end{eqnarray*}$

So ich hab keine Ahnung wie ich weiter machen soll ich muss zeigen dass der Ausdruck in der Klammer gößer ist als 1, dadurch hätte ich die Aufgabe gelöst. Dazu müsste $\begin{eqnarray*} 1/n >= ln(n+1)/(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ sein. Keine Ahnung ob ich das noch Umformen muss. Ich hab mehrere Umformungen vorgenommen aber nichts scheint eindeutig zu sein diese Form scheint am bessten.

Edit: Was hab ich Falsch gemacht beim Formeleditor Wieso sieht man die Funktion nicht?

Du musst Formeln in latex ... /latex - Klammern einschließen, damit man sie gut lesen kann.

17.03.2019, 11:23

GorillaHoden

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
verdammt das x^2 neben der (n+1) gehört da nicht hin es soll ein (n+1)^2 werden und ich kann gerade mein Beitrag nicht bearbeiten, da steht ich muss 15 min warten wobei schon 20 min um sind.

17.03.2019, 11:56

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Benutze $\begin{eqnarray*} e^{n+1}> n+1 \end{eqnarray*}$

17.03.2019, 12:47

GorillaHoden

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Wie meinst du das?

17.03.2019, 12:52

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Daraus folgt doch sofort $\begin{eqnarray*} \ln (n+1)<n+1 \end{eqnarray*}$ und von da aus ist es nur ein kurzer Sprung zur Behauptung

17.03.2019, 12:58

GorillaHoden

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
es ist in der aufgabenstellung angegeben das $\begin{eqnarray*} ln(n+1) <= n \end{eqnarray*}$ ist aber irgendwie hilft mir das nicht scheinbar hab ich irgendwas nciht verstanden oder ich übersehe etwas ziemlich offensichtliches.

17.03.2019, 13:20

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2}<\frac{n+1}{(n+1)^2}=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

17.03.2019, 13:40

GorillaHoden

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Mein Mathe Prof will immer nur das wir das benutzen was durch die Vorlesung bekannt ist. Er hat leider was du mir gezeigt hast nie in der Vorlesung erwähnt, deshalb darf ich nicht darauf zurückgreifen, die einzige Information die ich hab ist das ln(n+1) < n ist und damit komm ich nicht weiter.

17.03.2019, 15:01

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
In meinem letzten Beitrag habe ich benutzt, dass offenbar $\begin{eqnarray*} \ln(n+1) \leq n < n+1 \end{eqnarray*}$
Willst du jetzt elementare Abschätzungen nicht benutzen?

17.03.2019, 15:14

GorillaHoden

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
omg hahahah danke, dass ist so offensichtlich das ich es schon übersehn hab. Ich war die ganze Zeit auf der Suche nachm Trick 17. Danke aufjedenfall

17.03.2019, 15:21

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RE: Vollständige Induktion einer Aufgabe in meiner Klausurekonstruktion
Es geht auch mit deiner Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(n+1)}{(n+1)^2}<\frac{n}{(n+1)^2}<\frac{n}{n^2}=\frac 1 n \end{eqnarray*}$

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