Exponentialgleichung mit Wurzel

18.03.2019, 15:07

Schnurri29

Exponentialgleichung mit Wurzel

Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Ich würde bei folgender Gleichung bitte Hilfe benötigen:

$\begin{eqnarray*} 4^{\sqrt{x} -1} - 2^{\sqrt{x}}+ 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Gut, ich hab mal so angefangen:

$\begin{eqnarray*} 4^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{4} - 2^{\sqrt{x}}+ 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} (2^{2})^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{4} - 2^{\sqrt{x}}+ 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Für mich würde es dann nach Substitution und quadratischer Formel aussehen? Darf ich das Ganze so schreiben?

$\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt{x}^{(2)}} \cdot \frac{1}{4} - 2^{\sqrt{x}}+ 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Und dann $\begin{eqnarray*} u = 2^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ setzen.

Dies führt zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\cdot u^{2}-u+1=0 \end{eqnarray*}$

Durch Lösen der quadr. Gleichung komme ich auf $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Bei der Rücksubstitution würde ich einfach:

$\begin{eqnarray*} 2=2=2^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

setzen und hätte dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{log2}{log2} \end{eqnarray*}$

wodurch ich auf:

$\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Da ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen darf ist meine Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt? Es würde nämlich die Gleichung erfüllen...

Vielen Dank für eure Hilfe!

18.03.2019, 15:23

mYthos

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So wie du die Gleichung in der Angabe aufgeschrieben hast, erfüllt deine Lösung die Gleichung nicht.
Wohin gehört die (-1)? Woher kommt 1/4?
-------
Schreibe mal die Angabe syntaktisch richtig!

mY+

18.03.2019, 15:41

Steffen Bühler

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Hm, für mich ist $\begin{eqnarray*} 4^{\sqrt{1} -1} - 2^{\sqrt{1}}+ 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ korrekt. Und auch die Herleitung kann ich nachvollziehen.

Viele Grüße
Steffen

18.03.2019, 15:50

mYthos

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RE: Exponentialgleichung mit Wurzel

Zitat:

Original von Schnurri29
...
Durch Lösen der quadr. Gleichung komme ich auf $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt nicht.
Und in der Angabe habe ich auf eine fehlende Klammer getippt. Dort sieht es nämlich nicht nach Hochzahl aus.

$\begin{eqnarray*} 4^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ ist leider schlecht zu interpretieren, das sind die Tücken des mathjax-latex

Anyway, zum anderen Fall schreibe ich später noch etwas dazu.

mY+

18.03.2019, 15:53

Steffen Bühler

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RE: Exponentialgleichung mit Wurzel

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Schnurri29
...
Durch Lösen der quadr. Gleichung komme ich auf $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt nicht.

Ja, das ist ein Typo und sollte $\begin{eqnarray*} u=2 \end{eqnarray*}$ heißen, es wurde hier ja noch nicht resubstituiert.

Der zweite Typo ist dann $\begin{eqnarray*} 2=2=2^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ . Das muss natürlich $\begin{eqnarray*} u=2=2^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ heißen.

Davon abgesehen, passt m.E. aber alles.

18.03.2019, 15:58

Iorek

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Wenn wir schon bei Typos sind:

$\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt{x}^{(2)}}=2^{(\sqrt{x}^{(2)})}\neq \left(2^{\sqrt{x}}\right)^2=2^{2\cdot\sqrt{x}}=\left(2^2\right)^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Korrekt gesetzte Klammern bei mehrfachen Exponenten sind wichtig.

18.03.2019, 16:11

mYthos

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OK, danke.

Mit den Wurzeln kann mathjax nicht so gut umgehen. $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ sieht m. E. auch nicht so gut aus, weil das Wurzelzeichen tiefer und mit x nicht auf einer Linie steht.
---------

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt x} = 2 \end{eqnarray*}$ muss nicht logarithmisch gelöst werden.
Es genügt der Vergleich der Hochzahlen bei gleicher Basis:

$\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt x} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{\sqrt x} = 2^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$
=====

Zitat:

Original von Schnurri29

... und hätte dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{log2}{log2} \end{eqnarray*}$

wodurch ich auf:

$\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Da ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen darf ist meine Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt?
...

Nicht ganz. Die beiden Vorzeichen haben keine Berechtigung.

Denn -1 kann sich auch wegen des Quadrierens nicht als Scheinlösung ergeben.
Das Quadrat der Wurzel ist einfach x (nicht plus/minus x) und rechts ergibt sich auch nur 1 und nicht +/- 1.

mY+

18.03.2019, 16:17

Schnurri29

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Vielen Dank für eure Kommentare liebe Leute!

@mYthos: Aja das macht Sinn, dass die Vorzeichen hier keine Berechtigung haben. smile

Danke vielmals für eure Hilfe!!

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