ggT(a,b) = ggT(a+b,b)

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Johny042 Auf diesen Beitrag antworten »
ggT(a,b) = ggT(a+b,b)
Meine Frage:
Bin momentan an folgender Aufgabe:
Zeige, dass:

ggT(b, a) = ggT(b+a,a)

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre folgender:

d = ggT(b, a) -> d|b und d|a, so viel steht fest.

Nun bräuchte ich Rat, wie und warum ich welchen Schritt als nächstes machen könnte.

Vielen Dank für jegliche Hilfe.
Mfg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

-> d|b+a
Warum? Siehe Definition der Teilbarkeit.
 
 
Johny042 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man das zeigen, dass das d|b+a so ist?

Definition Teilbarkeit ist:
Eine Zahl m teilt n, wenn es ein q gibt mit n = m*q + r

Nur wie komm ich dann da drauf?

Und weil d|b+a -> ggT(b,a) = ggT(b+a,a) ?

Hm, ist mir nicht so verständlich...

Könntest du mir das bitte bissl näher bringen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich jetzt nicht. 7=3*2+1, also teilen 3 und 2 die 7? Nein.
Johny042 Auf diesen Beitrag antworten »

Hups, ohne Rest natürlich, also n = m *q
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, also ist gerade und keine Primzahl ? Deine Definition ist ausbaufähig.

Zitat:
Original von Johny042
Und weil d|b+a -> ggT(b,a) = ggT(b+a,a) ?


So schnell geht das nicht. Du hattest nach dem 1. Schritt und einer Begründung gefragt. Jetzt musst du erst einmal den 1. Schritt machen und begründen und verstehen. Danach sehen wir weiter.
Johny042 Auf diesen Beitrag antworten »

n = m*q -> das gilt für alle n,m,q ∈ℕ
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer: Sei R ein Ring mit multiplikativem Einselement 1, und seien n, m in R. Dann heißt n teilbar durch m, wenn es ein q in R gibt, so dass n=m*q ist.

Du weißt, dass ein Teiler von und ist, also gibt es mit. Daraus folgt , also ist ein Teiler von wegen . Wegen und ist .

Analog musst du noch zeigen, dass gilt, dann ist und . Es gibt also mit und , also , also , also sind und assoziiert, und das heißt .

Alles ganz einfach Anwendung der Definitionen. Die musst du kennen und ein wenig mitdenken.
Johny042 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön nachvollziehbare Antwort.
Eine abschließende Frage noch, warum kann man davon ausgehen, dass xx'=1 ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In jeder Gruppe folgt aus ax=a für ein Element a, dass x=1 ist. Man kann die Gleichung von links mit dem inversen von a multiplizieren, dann steht da x=1.
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