Zahlentheorie: Kettenbrüche, Konvergenz, beste Näherung

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Hosenschlange Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie: Kettenbrüche, Konvergenz, beste Näherung
Mahlzeit,

gegeben sei eine nicht quadratische ganze Zahl N > 1, deren Wurzel durch einen Bruch angenähert werden soll. Hierzu ist weiterhin gegeben der größtmögliche Nenner D.

Ich habe mich dem ganzen über reguläre Kettenbrüche genähert. Als Beispiel ist N = 101, D = 50. Dann ist die Kettenbruchentwicklung für N = [10; 20, 20, 20, 20, 20, ..., 20, ...]. Diese Kettenbruchentwicklung treibe ich für das Beispiel so weit, bis der Nenner des zugehörigen Bruchs > D wird. In diesem Beispielfall führt die Entwicklung also zu [10; 20, 20], was in dem Bruch resultiert. Um das alles nun D anzunähern, durchlaufe ich für den letzten Index in der Kettenbruchentwicklung eine Schleife von 1 bis < (Zahl beim Index), hier also von 1 bis 19. Die ersten daraus resultierenden Brüche sind dann

Die beste Näherung der Wurzel aus 101, mit dem größtmöglichen Nenner 50, ist also .

Ist das so ungefähr richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ganz klar . Ich verstehe generell nicht, wieso deine Methode funktionieren soll. verwirrt
 
 
Hosenschlange Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es ist ganz klar . Ich verstehe generell nicht, wieso deine Methode funktionieren soll. verwirrt


Inwiefern?

Ich hatte diese Methode letztlich aus meinem Wahnsinn heraus probiert Big Laugh ob sie aber gängig ist und sich generell anwenden lässt, kann ich nicht sagen. Ich hab auch noch keine andere Methode probiert, um sagen zu können, ob 412/41 tatsächlich die beste Näherung in Anbetracht der Vorgaben ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was "inwiefern" ? Bestreitest du und die Konsequenz, dass ein besserer Näherungsbruch als dein ist? Erstaunt1
Hosenschlange Auf diesen Beitrag antworten »

Keinesfalls. Ich fragte wegen "[...] wieso deine Methode funktionieren soll [...]". Aber ich sehe, worauf du hinaus willst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ich ein Gegenbeispiel angebe, welches zeigt, dass deine Methode nicht die gesuchte optimale Lösung findet, dann bist du doch in der Erklärungsnot. Sowas beantwortet man doch nicht mit Gegenfragen. Augenzwinkern

EDIT: Achso, du hattest oben was nachträglich ergänzt.


OK, die Kettenbruchnäherungsbrüche seien . Du suchst nun zu gegebenem den bestmöglichen Näherungsbruch mit . Deine Annahme ist nun die folgende:

Sei der letzte Näherungsbruch mit , während für bereits gilt. Du nimmst nun von allen Werten mit denjenigen mit der besten Annäherung, der zugleich erfüllt?

Klingt soweit nicht schlecht, aber das ist nur die beste Annäherung innerhalb dieser , und das ist nicht notwendig besser als der Ausgangspunkt dieser Suche - mit dem sollte also auch noch verglichen werden, wie das Beispiel oben zeigt. Wenn ich mich nicht irre dann reicht der Vergleich zwischen eben jenem mit für das größtmögliche , d.h. welches gerade noch erfüllt, das wäre dann .



Nehmen wir für dein Beispiel oben die Kettenbrüche , und als perfekte Näherungsbrüche jeweils für die Fälle .

Für haben wir "neue" Minima für bei . Sie alle folgen dem o.g. Schema , aber eben nicht gleich von Start weg, sondern erst für . Für ist also tatsächlich noch der "alte" Wert besser. Wenn du diese Modifikation in deinen "Algorithmus" einbaust, dann könnte das ganze aufgehen.
Hosenschlange Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke. Das ist ausführlich smile damit werde ich zweifellos versuchen, mein gesuchtes Ergebnis zu finden und in einen Algorithmus zu quetschen.
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