Kombinierte Ableitung

20.03.2019, 14:52	neuerGast	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinierte Ableitung Meine Frage: Hallo, ich will überprüfen, ob dMx/dx =Mxx ergibt. Also ob Mxx die Ableitung von Mx nach x ist. Allerdings tue ich mich schwer mit der Kombination aus Ketten- Produkt- und Quotientenregel. Kann mir hier jemand Hilfestellung geben? Meine Ideen: siehe Bild
20.03.2019, 17:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinierte Ableitung Ich bezeichne die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Ableitung mal vorübergehend mit angehängtem ´, um etwas Schreibarbeit zu sparen. Zunächst eine vorbereitende Rechnung: Es ist $\begin{eqnarray} S_i^2 = (x-x_i)^2+(y-y_i)^2 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} 2S_iS_i' = 2(x-x_i) \end{eqnarray}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray} S_i' = \frac{x-x_i}{S_i} \end{eqnarray}$ . Ebenfalls merken wir uns $\begin{eqnarray} \left( S_i^{-1} \right)' = -\frac{1}{S_i^2}S_i' = -\frac{x-x_i}{S_i^3} \end{eqnarray}$ für später. Kommen wir nun zur Ableitung von $\begin{eqnarray} M_x = \sum_{i=1}^n 2(S_i-r_{mi})(x-x_i)S_i^{-1} \end{eqnarray}$ (durch diesen Kniff mit $\begin{eqnarray} S_i^{-1} \end{eqnarray}$ kann ich mich auf die Produktregel mit drei Faktoren beschränken, brauche die Quotientenregel somit nicht): $\begin{eqnarray} M_x' &=& 2\sum_{i=1}^n \left[ S_i'(x-x_i)S_i^{-1} + (S_i-r_{mi})S_i^{-1} + (S_i-r_{mi})(x-x_i)\left(S_i^{-1}\right)' \right]\\ &=& 2\sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i^3} \left[ S_i(x-x_i)^2 + (S_i-r_{mi})S_i^2 - (S_i-r_{mi})(x-x_i)^2 \right]\\ &=& 2\sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i^3} \left[ S_i^3 -r_{mi}(y-y_i)^2 \right] = 2n - 2\sum_{i=1}^n \frac{r_{mi}(y-y_i)^2}{S_i^3} \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nicht, was du mit $\begin{eqnarray} r_{mi} \end{eqnarray}$ meinst (hoffentlich nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängig, denn ich hab es als konstant angenommen) - scheint aber irgendwie aus den anderen Größen bildbar, denn bei dir taucht es in $\begin{eqnarray} M_{xx} \end{eqnarray}$ ja nicht mehr auf...

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