Genauigkeit beim Taylorpolynom

22.03.2019, 20:10	LieberMalNachfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauigkeit beim Taylorpolynom Wenn ich beispielsweise $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}^{\frac{1}{2}} = (1 + (-\frac{1}{2}))^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ auf 2 Dezimalstellen genau angeben soll, mittels der Taylorreihe von $\begin{eqnarray} (1+x)^\alpha \end{eqnarray}$ Weiß man dann schon vorher, wieviele Terme man braucht, um diese Genauigkeit zu erreichen, oder muss man das einfach "probieren" und mit dem Taschenrechner vergleichen? Die Aufgabe war, den obigen Ausdruck auf 2 Dezimalstellen genau zu berechnen, was ich getan habe. Dafür habe ich das Polynom bis zum Grad 4 benötigt. Das wusste ich aber vorher nicht, sondern habe es einfach mal nur bis zum Grad 4 berechnet und dann geschaut, dass bei 3 immer noch etwas Falsches rauskommt bis zur 2. Dezimalstelle. Aber wie hätte ich das vorher wissen können?
22.03.2019, 23:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das k- te Glied ist $\begin{eqnarray} a_k=\binom {-\frac 12}{k} 2^{-k} \end{eqnarray}$ und stets positiv. Den Binomialkoeffizienten kann man noch umschreiben und kürzen. $\begin{eqnarray} a_k \approx \frac{2^{-2k}}{2\cdot 4 \cdot 6\cdots} \end{eqnarray}$ und insgesamt mit $\begin{eqnarray} \sum_{\mu=k+1}^\infty a_\mu< 0.01 \end{eqnarray}$ doch ziemlich aufwändig.

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