Lebensversicherung - tatsächliche Rendite

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ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »
Lebensversicherung - tatsächliche Rendite
Hallo liebe Mitglieder !

Es handelt sich um eine Frage zu Lebensversicherungen, wobei die Antwort vorgegeben ist. Könnt ihr mir bitte sagen, wie man darauf kommt ?

Der Kunde zeigt ihnen eine Lebensversicherung und behauptet, dass nach Aussagen seines Beraters die Rendite seines Vertrages 6% erwirtschaftet. Folgende Angaben lassen sich aus den zur Verfügung gestellten Unterlagen (Polizze und ausgehändigte Aufzeichnungen) ablesen:
Lebensversicherung:
Laufzeit: 24 Jahre
Monatsprämie: € 148,70
Auszahlung inkl. Gewinnbeteiligung: 70.000

Frage 1:
Wie hoch ist die tatsächliche Rendite bei diesen Angaben ?
Antwort:
Die tatsächliche Rendite beträgt bei diesen Rechengrundlagen: 3,8014% (Beginnmodus) bzw. 3,8244% (Endmodus).

Formel für den Endmodus müsste sein:
70.000 = 148,7 * (q^288 - 1)/(q - 1)
288 = 24 x 12 =288

Leider mache ich was falsch beim umformen oder rechnen und komme somit nicht auf die
3,8244% (Endmodus). Könnt ihr mir bitte sagen was ich falsch mache ? Wie sehen die
Rechenschritte aus ?
Und wie sieht das dann für die 3,8014% (Beginnmodus) aus ?


Danke !

Mit besten Grüßen,
Ernest
G230319 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebensversicherung - tatsächliche Rendite
Die Gleichung kannst du nur mit einem Näherungsverfahren lösen.

Wird vor- oder nachschüssig eingezahlt?

q= 1,00319 --> i = 0.00319*12 = 0,3828 (mit wolframalpha)
 
 
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebensversicherung - tatsächliche Rendite
Man muss beides berechnen, den Beginnmodus und den Endmodus.
Setzte ich "i" ein, komme ich auch auf die 70.000.
Das heißt, die Lösung stimmt.

1. Schritt: 70.000/ 148,70
2. Schritt: ????
Wie geht es dann weiter, um auf q= 1,00319 zu kommen ?

Wie funktioniert es beim Beginnmodus ?

Danke !

glg
ernest
G240319 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebensversicherung - tatsächliche Rendite
Wenn meinst du mit den "modus"?

Die Gleichung ist algebraisch nicht lösbar. Verwende ein Näherungsverfahren (Newton, regula falsi)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

"Beginnmodus" meint vorschüssig, "Endmodus" = nachschüssig.

Das Auflösen der Gleichung vom Grad 288 bzw. 289 könnte einige CAS an ihre Grenzen bringen, sie bleiben entweder in einer Endlos-Berechnung oder liefern falsche Ergebnisse.
Dies auch deswegen, weil das Resultat sehr nahe an 1 liegt.
Bei DERIVE hilft die zusätzliche Eingabe der Grenzen (hier 1 und 1.1), dann geht dies auch sehr schnell und genau.

[attach]49046[/attach]

Selbst Wolframalpha gibt das Resultat ungenau aus, es müsste (bei nachschüssig) zumindest q = 1.003187 sein.
@G240319, du hast bei i übrigens eine Null nach dem Komma vergessen.

Die angegebenen Lösungen sind tatsächlich richtig, sie bezeichnen allerdings den nominalen Zinssatz (nicht den effektiven).

[attach]49042[/attach]

Auch Excel (oft kritisiert) berechnet das Resultat mittels des Sovers (oder Zielwertsuche) blitzschnell und richtig!

[attach]49044[/attach]

mY+
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »

@@mYthos

dass heißt, mit einen "normalen" Texas Instrument (TI-30XA) Taschenrechner kann ich das gar nicht lösen ?

glg
ernest
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

ein ähnliches Beispiel wäre das folgende. kann ich das auch nicht lösen ? oder wieder nur mit sehr großen Aufwand ?

Ihr Kunde investiert € 2100 monatlich in einen Sparplan eines Finanzproduktes. Ihm wird vom Berater errechnet, dass er nach 8 Jahren ein Gesamtkapital von € 24.565,71 erhalten wird. Wlche Nettorendite pa in % entspricht diese Prognose ?
Antwort: Nettorendite 6 % pa

glg
ernest
G250319 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Endwert kann nicht stimmen.
Allein ohne Verzinsung käme man auf 12*2100*96= 2419200
Er würde also Geld vernichten.
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry !

Richtig ist:
"Ihr Kunde investiert € 200 monatlich in einen Sparplan..."

Ist das auch so ein unlösbares Beispiel wie das obige ?

glg
ernest
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ernest12
@@mYthos

dass heißt, mit einen "normalen" Texas Instrument (TI-30XA) Taschenrechner kann ich das gar nicht lösen ?

Obwohl ich diesen Taschenrechner nicht kenne, bin ich recht sicher, dass man die Aufgabe damit lösen kann. Die Rechengenauigkeit üblicher Taschenrechner ist dazu völlig ausreichend.

Es ist mir unklar wie mYthos zu seiner Aussage kommt. Vielleicht sagt er dazu noch etwas mehr. Besonders würde mich interessieren, was er in WolframAlpha eingegeben hat.
G250319 Auf diesen Beitrag antworten »

Wolfram bestätigt das Ergebnis.
Der relative Monatszins beträgt 0,5% --> Jahreszins = 6% (12*0,5)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
...
Die Rechengenauigkeit üblicher Taschenrechner ist dazu völlig ausreichend.

Es ist mir unklar wie mYthos zu seiner Aussage kommt. Vielleicht sagt er dazu noch etwas mehr. Besonders würde mich interessieren, was er in WolframAlpha eingegeben hat.


Ich habe gar nichts in WolframAlpha eingegeben, sondern das Ergebnis von G230319 (23.03. / 19:48 h) angesehen. Abgesehen von der fehlenden Dezimalstelle beim Zinssatz ist eben dieses Resultat mit 1.00319 mit nur 3 Stellen im Dezimalbereich (man muss ja später davon 1 subtrahieren) zu ungenau. Da muss man wenigstens mit 1.003187 weiterrechnen.

Meine Aussage zu den CAS bezog sich darauf, dass manche CAS ausser Tritt kommen, wenn man nicht vorher den Lösungsbereich entsprechend einengt. Das passiert sowohl in GeoGebra als auch bei Derive.
Auch in Excel sollte vor Ausführen der Iteration der ungefähre Wert der veränderbaren Zelle schon eingetragen sein.
Damit ist sichergestellt, dass die Verfahren konvergieren (!)

Zu den TR - vor allem über den TI30 - habe ich auch nichts weiter gesagt, weil ich eine Näherungsberechnung damit erst gar nicht versucht habe. Ich kann mir aber gut vorstellen, dass der ("normale") TI30 solche Gleichungen eventuell NICHT auflösen kann.
Es kommt sehr auf den entsprechenden Rechnertyp an, ob dieser einen Gleichungslöser (Solver) besitzt.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ernest12
...
Ist das auch so ein unlösbares Beispiel wie das obige ?
...

Von unlösbar hat doch niemand etwas gesagt, sondern nur von algebraisch nicht lösbar, das ist schon ein Unterschied.
Näherungsweise - mit hinreichender Genauigkeit - sind beide Aufgaben wohl lösbar.

[attach]49051[/attach]



Der Solver hat exakt 6% Nominal-Zinssatz berechnet!

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zu den TR - vor allem über den TI30 - habe ich auch nichts weiter gesagt, weil ich eine Näherungsberechnung damit erst gar nicht versucht habe. Ich kann mir aber gut vorstellen, dass der ("normale") TI30 solche Gleichungen eventuell NICHT auflösen kann.
Es kommt sehr auf den entsprechenden Rechnertyp an, ob dieser einen Gleichungslöser (Solver) besitzt.

Für ein "händisches" Lösen mit einem der üblichen Näherungsverfahren sollte seine Rechengenauigkeit jedenfalls ausreichen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, du meinst z.B. mit Newton oder Regula Falsi! Das hatte ich bis jetzt nicht in Betracht gezogen .. Big Laugh

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Freiwillig würde ich das auch nicht machen. Wie ich dem Internet entnehme, hat der fragliche Taschenrechner aber keinen Solver.
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy & co

das ist der Taschenrechner. also funktioniert das mit den beiden Beispielen mit diesem Taschenrechner nicht ? oder welche Funktion ist auf dem Taschenrechner zu drücken, um das Ergebnis zu bekommen ?

Danke !

glg
e
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Rechner kannst du das nicht mit einem Tastendruck lösen. Du musst ein numerisches Lösungsverfahren, z. B. die "regula falsi" eventuell kombiniert mit Intervallhalbierung schrittweise händisch mit dem Rechner durchführen. Das ist machbar, aber durchaus etwas mühsam.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Newton ist vorher noch die Ableitung der Funktionsgleichung zu berechnen, währenddessen die Regula Falsi diese nicht benötigt.
Leider sind jedoch bei der Regula Falsi bzw. Bisektion meistens mehr Iterationsschritte nötig, sodass der Rechenaufwand schnell steigt.
Die Anzahl der Iterationsschritte ist natürlich auch von der geforderten Genauigkeit (Fehlertoleranz/Abbruchbedingung) abhängig.

Bei beiden Verfahren ist zu Beginn - zur Eingrenzung des Startwertes - jenes Intervall zu ermitteln, an dessen Enden ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Der Startwert liegt dann dazwischen.
Denn je näher man sich beim Startwert an die tatsächliche Nullstelle heranpirscht, desto geringer wird der Rechenaufwand.

In der letzten Aufgabe ist dies beispielsweise 1,004 bei Newton bzw. das Intervall [1,004; 1,006] bei RegFalsi.
Damit ist ersichtlich, dass der Rechenaufwand halbwegs vertretbar bleibt (4 bis 5 Iterationsschritte, je nach Abbruchbedingung).

[attach]49059[/attach]

Die Zahlen in der gezeigten Tabelle können nun mit deinem TR durchaus moderat berechnet werden.

Tipps:
Benütze unbedingt den/die im TR implementierten Speicher, dadurch vermindert sich die Tipparbeit!
Führe während der Berechnung eine handschriftliche Tabelle (ähnlich w.o.) deiner errechneten Werte mit, um die Übersicht zu behalten.
Die näherungsweise ermittelten Werte für die Nullstelle befinden sich in der Spalte x_n.
f(x_n) zeigt, wie weit man noch von 0 entfernt ist, man sieht also gleichzeitig den Fehler.

mY+
ernest12 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für eure Hilfe !

glg
ernest
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