Abelsche Gruppe - Gleichheit zeigen

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Telles Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppe - Gleichheit zeigen
Hallo Community!

In der Vorlesung haben wir eine abelsche Gruppe K aus den Kongruenzklassen von Strecken konstruiert:

K = -P vereinigt mit {0} vereinigt mit P
P .... Menge der Kongruenzklassen der Strecken

Nun soll ich folgendes zeigen:

a) a,b aus K: aus 2*a = 2*b folgt a = b
b) a,b aus K und n aus Natürlichen Zahlen, n >= 1: aus n*a = n*b folgt a = b

Da die Division noch nicht in der Gruppe beinhaltet ist, soll man die Ordnungsrelation verwenden.

Ich tu mich hier schwer, da ich nicht genau weiß, welche Eigenschaften ich zum Zeigen verwenden soll. Mein Ansatz wäre gewesen:

(a + a) > a => (a + a) - a Element aus P => a
(b + b) > b => (b + b) - b Element aus P => b

=> a = b

Das scheint mir aber sehr ungenau und wage formuliert. Wäre über Tipps und Ratschläge sehr froh!

LG Telles
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstruktion ist nicht klar. Was ist eine Strecke ? Wie ist die Kongruenzrelation von Strecken definiert, die zu den Kongruenzklassen führt. Was ist -P und was ist {0} ? Welche Operation macht die Menge K zu einer Gruppe ? Was bedeutet die Relation > in der Formel (a + a) > a ? Den Ansatz verstehe ich überhaupt nicht.
 
 
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Strecke ist der Abstand zwischen zwei Punkten, die auf einer Geraden liegen.

Zwei Strecken AB und CD werden kongruent genannt, wenn sie in Relation stehen,
d.h. wenn gilt und die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Strecken.

Die Äquivalenzklassen von Strecken werden Kongruenzklassen genannt, wobei P die Menge aller Kongruenzklassen von Strecken ist. Sind A und B zwei verschiedene Punkte, dann wird die Kongruenzklasse der Strecke AB mit |AB| bezeichnet, d.h. .

Die abelsche Gruppe K mit der Addition setzt sich zusammen aus den negativen Streckenlängen, der Streckenlänge 0 und den positiven Streckenlängen: -P U {0} U P

Auf diese Gruppe wird die Ordnungsrelation definiert:

"Für definieren wir a < b, falls . Wie üblich schreiben wir statt a < b auch b>a"

Die Relation < ist eine mit der Addition verträgliche (strenge) Totalordnung auf K, deren positive Elemente mit P ubereinstimmen. Für beliebige
gilt daher:
(a) Aus a < b und b < c folgt a < c. (Transitivität)
(b) Es tritt genau einer der folgenden Fälle ein: a < b, oder a = b, oder a > b. (Trichotomie)
(c) Aus a < b folgt a + c < b + c.
(d) P = { : x > 0} und -P = { : x < 0}.


Für definieren wir falls a < b oder a = b. Dann ist eine Totalordnung auf K, d.h. eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation bezüglich der je zwei Elemente die vergleichbar sind. Diese Totalordnung ist mit der Addition in folgendem Sinn verträglich: Sind und gilt , dann auch

Ich hab's nun detaillierter beschrieben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich noch nicht so ganz. Abstand zwischen zwei Punkten ist immer positiv, wäre eine Strecke der Abstand zwischen zwei Punkten, so gäbe es keine negative Streckenlänge. Die Kongruenzrelation ist auch nicht wohldefiniert (vermutlich ist die euklidische Kongruenz gemeint ???). Insgesamt kann das nur auf die Interpretation der Geraden als reelle Zahlen hinauslaufen (glaube ich), und dort ist die Aussage trivial (oder nicht ?).
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist die euklidische Kongruenz gemeint, jedoch sind das Auszüge aus dem Skript des Profs.

Ok, nehmen wir mal an es gibt nur positive Streckenlängen und keine Streckenlängen, die 0 sind. Das heißt P beinhaltet dann alle positiven Streckenlängen. In (K,+) kann ich somit mit Streckenlängen rechnen bezüglich Addition.

2a = 2b => a = b kann ich aber nicht zeigen, da ich in der Gruppe nicht dividieren kann bzw. durch 2 teilen kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du zeigen , dann bist du am Ziel.
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es jetzt so versucht:

1) Annahme a < b, da
2) a < b <=> b - a
3) b - a ist wieder eine Strecke
4) nach Def. Streckenaddition: (b-a) + (b-a) = b + b - a - a => 2b - 2a => 2a < 2b
5) es muss daher gelten, sodass Ungleichung erfüllt

Könnte man das so argumentieren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ahne, was du sagen willst, und von der Idee her ist das nicht schlecht. Die Form und Formulierung ist miserabel, das musst du verbessern. Genau die Ungenauigkeiten in deinen Definitionen treten auch in deinem Beweisversuch auf und machen alles kaputt.
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt das noch schwer, da all dies relativ neu für mich ist. Ich arbeite aber daran und bin bemüht mich zu verbessern.

Welche Verbesserungsvorschläge hättest du denn? Versteh mich bitte nicht falsch, ich möchte keine Musterlösungen. Viel wichtiger sind mir Denkanstöße und ernstgemeinte Ratschläge, die mir helfen, mein mathematisches Denken zu verbessern.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In 1) muss die Voraussetzung oBdA sein oder eine Fallunterscheidung gemacht werden.
In 2) steht rechts b-a, das ist keine Aussage
In 4) gibt es dasselbe Problem
Daher ist der Schluss von 4) auf 5) unklar

Insgesamt muss man alle Definitionen noch einmal sauber aufschreiben, Punkt, Strecke, positiv, negativ, 0, K, Addition, dann funktioniert es vielleicht.
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