Adjunktion Körper

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24.03.2019, 10:14	lili141	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjunktion Körper Meine Frage: Hallo zusammen, es ist ja nach Definition $\begin{eqnarray} K(a_1,...,a_n):=\left\{\frac{f(a_1,...,a_n)}{g(a_1,...,a_n)} \| f,g \in K[X_1,...X_n]\right\} \end{eqnarray}$ . Ich frage mich jetzt wie die typische Bezeichnung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ als eine Adjunktion, mit dieser Definition zusammenpasst, weil sonst arbeitet man ja sonst noch hat: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\left\{ a+b\sqrt{2} \| a,b \in \mathbb{Q}\right\} \end{eqnarray}$ . Aber diese Definition haben wir im Skript nie genannt bzw. gesehen, aber arbeiten auch in den Übungen damit. Wie passt die eine Definition mit der Adjunktion zusammen? Ich sitze da schon sehr lange dran. Wir haben nur einmal geschrieben: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\mathbb{Q}[X]/(x^2 -3)=\left\{ a+b\sqrt{2} \| a,b \in \mathbb{Q}\right\} \end{eqnarray}$ . Die erste Gleichung müsste ein bewiesener Satz sein, der einen Isomorphismus zwischen einem algebraischen Element und deren Min. Polynom herstellt, sodass die Linksnebenklasse dann ein Körper ist. Der Zusammenhang zwischen Adjunktion und Definition bleibt mir leider unklar. Meine Ideen: oben
24.03.2019, 10:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjunktion Körper Verständnisfrage Nur mal eine Idee: Für jedes Polynom g ist $\begin{eqnarray} g(\sqrt{2})=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray}$ für geeignete a,b. Wenn das im Nenner steht, erweitert man mit $\begin{eqnarray} a-b\sqrt{2} \end{eqnarray}$
24.03.2019, 11:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjunktion Körper Verständnisfrage besser $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 2)=\mathbb Q[X]/(x^2 -2)=\{ a+b\sqrt 2 \| a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 2)=\mathbb Q[X]/(x^2 -3)=\{ a+b\sqrt 2 \| a,b \in \mathbb Q\} \end{eqnarray}$
24.03.2019, 13:48	lili141	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke URL, das hilft mir schonmal. Es ist also keine andere Notation oder Definition sondern wirklich die genannte Definition. Ich habe noch eine weitere Frage: Wie ist dann der Ausdruck $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i]/(2) \end{eqnarray}$ zu interpretieren. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ sind ja Polynomausdrücke, die in i ausgewertet werden und (2) wohl das von (2) erzeugte Ideal?
24.03.2019, 15:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So verstehe ich das.
24.03.2019, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich in den beiden Fällen $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X]/(X^2-2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]/(2) \end{eqnarray}$ um Faktorringe. Einmal wird der Polynomring $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ nach dem Hauptideal $\begin{eqnarray} (X^2-2)=(X^2-2)\mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ faktorisiert, das andere mal der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ nach dem Hauptideal $\begin{eqnarray} (2)=2\mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ . Die erzeugenden Restklassen des Restklassenrings $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X]/(X^2-2) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \overline 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline X \end{eqnarray}$ , weil das irreduzible Polynom $\begin{eqnarray} X^2-2 \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ hat, und wegen $\begin{eqnarray} \overline X^2=\overline {X^2}=2 \end{eqnarray}$ kann man $\begin{eqnarray} \overline X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \theta=\sqrt 2 \end{eqnarray}$ identifizieren, so dass der Isomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X]/(X^2-2)\cong\mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray}$ algebraischer Zahlkörper deutlich wird. Der Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]/(2) \end{eqnarray}$ enthält nur die 4 Elemente $\begin{eqnarray} (2)=\overline 0=0+2\mathbb Z[i],\overline 1=1+2\mathbb Z[i],\overline i=i+2\mathbb Z[i],\overline {1+i}=1+i+2\mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ , und er ist sicher kein Körper.
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24.03.2019, 20:08	lili141	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da frage ich mich jetzt wie ich denn Faktorringe dann von "Menge der Linksnebenklasse" auseinanderhalten soll. Das ist ja genau die gleiche Notation und ich habe jetzt erst an an die LNK gedacht.
24.03.2019, 21:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Menge ist es genau das. Als algebraische Struktur gehört zu einem (Faktor-)Ring bzw. Körper eine wohldefinierte Addition und Multiplikation. Diese werden vertreterunabhaengig für die Restklassen definiert.
24.03.2019, 21:48	lili141	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich es als LNK auffasse, dann hätte ich doch $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]/(2)=\left\{(a+b\sqrt{2})2\mathbb{Z}\|a,b \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray}$ oder nicht? Aber das ist doch wohl eine unendliche Menge
24.03.2019, 21:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast das i vergessen, und mit der Wurzel aus 2 hat das gar nichts zu tun.
24.03.2019, 21:54	lili141	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt natürlich, das war ein Copy+Paste-Fehler. Anstatt von Wurzel(2) müsste es ein i sein?
24.03.2019, 22:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kariertes Papier ist (ein Ausschnitt aus) Z[i], 2Z[i] hat die 4fache Grundmasche. Das Teilgitter kann man um 0, eine Einheit nach rechts, nach oben und diagonal verschieben. Das sind die 4 Nebenklassen, die ich aufgeschrieben habe.
25.03.2019, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zum Ansehen, zum Anfassen, zum Begreifen:

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