Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie

24.03.2019, 15:07

Riv77

Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich gehe grad meine Aufgaben zu Relationen durch und bin bei einer Lösung aus der Übung unsicher. Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgende binäre Relation auf der Menge A um eine Äquivalenz oder Ordnungsrelation handelt. Die Menge und die darauf definierte Relation habe ich als Anhang hinzugefügt.

Meine Ideen:
Dass die Funktion reflexiv, transitiv und nicht symmetrisch ist habe ich verstanden, nur bei der Antisymmetrie komme ich leider nicht mit :/. Für die muss nach meinem Vertändis gelten: wenn xRy und yRx => x=y, für alle x,y aus A. Und hier liegt mein Verständisproblem. Wenn ich jetzt setze: (4,0)R( $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ ), erhalte ich 4 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ 4 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 => 4=4, somit würde ja die Antisymmetrie gelten. Nur gilt die Antisymmetrie aber nicht für alle Tupel, die ich in Relation setze (z.B. (4,0)R( $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ ). Hier hätte ich ja schon bei 4 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{18} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{18} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 einen Widerspruch). Oder versteh ich da etwas falsch?

24.03.2019, 16:00

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RE: Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie
Die beiden Paare (4,0) und $\begin{eqnarray*} (\sqrt{9},\sqrt{9}) \end{eqnarray*}$ erfüllen die Relation einfach nicht.
Vielleicht hilft es, wenn du dir geometisch klar machst, was die Relation bedeutet. $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray*}$ ist ja passenderweise der euklidische Abstand von $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ zum Ursprung.

24.03.2019, 18:35

Riv77

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RE: Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie
Ich habe da leider generell noch ein Verständnisproblem:

(4,0)R( $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ ) erfüllt die Relation und die Bedingung der Antisymmetrie

(4,0)R(2,0)) würde die Antisymmetrie widerlegen

heißt das, dass die Relation nicht antisymmetrisch ist, weil die Bedingung der Antisymmetrie nicht für alle Elemente gilt, oder reicht es Werte für x und y der Menge zu finden, die die Relation und die Bedingung der Antisymmetrie erfüllen? ((4,0)R( $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ )) Weil sonst müssten die Elemente der Menge die die Relation erfüllen alle gleich sein, damit Antisymmetrie überhaupt gelten kann verwirrt

24.03.2019, 18:55

KeinGastMehr

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Da URL gerade nicht online ist, antworte ich.

Also:

Die Definition der Antisymmetrie ist:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in A \colon xRy \text{ und } yR x \Rightarrow x = y. \end{eqnarray*}$

Das ist folgendermaßen zu lesen:

"Für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ gilt: Falls $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yRx \end{eqnarray*}$ gilt, so gilt $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ."

Dein Beispiel mit den Paaren $\begin{eqnarray*} (4,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2,0) \end{eqnarray*}$ erfüllen diese "Falls"-Aussage nicht.
Die Definition der Antisymmetrie ist hier automatisch erfüllt, da aus einer falschen Aussage beliebiges folgt, d.h. die Implikation ist sowieso wahr. Konkret heißt das: Ist die Aussage links vom Implikationspfeil falsch, so ist egal, was rechts steht (oder auch: es reicht, sich nur die Paare anzuschauen, die die Bedingung links vom Implikationspfeil erfüllen!)

Hingegen erfüllen die Paare $\begin{eqnarray*} (4,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\sqrt 8, \sqrt 8) \end{eqnarray*}$ deine "Falls"-Aussage, d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} (4,0)R(\sqrt 8, \sqrt 8) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\sqrt 8, \sqrt 8)R(4,0) \end{eqnarray*}$ . Nun steht also inks vom Implikationspfeil eine wahre Aussage! Das bedeutet: Ist die Relation antisymmetrisch, so muss auch rechts vom Implikationspfeil eine wahre Aussage stehen. Ist das so?

Edit: Sorry URL, du bist gerade online gekommen, als ich die Antwort getippt habe. Ich lasse sie trotzdem stehen.

24.03.2019, 18:58

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RE: Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie
Du hast es doch selbst geschrieben: wenn xRy und yRx => x=y, für alle x,y aus A.
Wenn du also zwei verschiedene Elemente x,y in A gefunden hast, für die xRy und yRx gilt, dann ist die Relation nicht antisymmetrisch. Ein Gegenbeispiel reicht smile

Die Aussage

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (4,0)R(\sqrt{8},\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$ erfüllt die Relation und die Bedingung der Antisymmetrie

ergibt deswegen nicht viel Sinn. Richtig wäre: Es gilt $\begin{eqnarray*} (4,0)R(\sqrt{8},\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\sqrt{8},\sqrt{8})R(4,0) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} (\sqrt{8},\sqrt{8})\neq (4,0) \end{eqnarray*}$ . Also ist R nicht antisymmetrisch.

und das

Zitat:

(4,0)R(2,0)) würde die Antisymmetrie widerlegen

stimmt nun überhaupt nicht. Es gilt ja nicht einmal (2,0)R(4,0)

24.03.2019, 19:20

Riv77

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RE: Ordnungsrelation: Problem bei Antisymmetrie
ach stimmt, jetzt fällt der Groschen Hammer

danke für die schnelle Unterstützung an euch beide... hatte mich bei der Definition total vertan unglücklich

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