Zerlegung einer orthogonalen Abb. in Produkt von Spiegelungen

24.03.2019, 16:08	Moritz4321	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung einer orthogonalen Abb. in Produkt von Spiegelungen Meine Frage: VORWEG: Viel Text, aber mir geht es um spezielle Fragen zum Thema und ich hoffe diese dadurch detailliert beschrieben zu haben. Freue mich über jede Hilfe :-) Hallo zusammen, ich arbeite mich gerade durch das Thema der linearen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen im IR^3. Frage 1) Wie ich hier vorzugehen habe, wenn ich jeweils die Drehachse, Hyperebene zu bestimmen habe, meine ich gut nachvollzogen zu haben. Auch den Drehwinkel mittels der Formel $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}(Spur(A)-1) \end{eqnarray}$ bei der Drehung und $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}(Spur(A)+1) \end{eqnarray}$ bei der Drehspiegelung meine ich verstanden zu haben. Allerdings gibt es doch bei der Drehspiegelung die Möglichkeit durch Berechnung von A^2 die Drehung zu berechnen und somit wieder die Formel mittels $\begin{eqnarray} \cos(2\alpha) = \frac{1}{2}(Spur(A^2)-1) \end{eqnarray}$ zu nutzen, wobei dann $\begin{eqnarray} 2\alpha \end{eqnarray}$ beachtet werden muss. Hier bin ich aber bei einer Aufgabe auf zwei unterschiedliche Lösungen gekommen, als ich beide Möglichkeiten zur Probe ausprobiert habe. Daher meine Frage, ob dies vielleicht gar nicht so gilt? Falls doch würde ich die Aufgabe bzw. meine Lösungen mal hier posten. Frage 2) Ich möchte hier mal zusammen tragen worauf ich zu achten habe, wenn ich die lineare Abb. in Produkt von Spiegelungen zerlegen möchte für den Fall A: Die lineare Abb. ist eine Spiegelung Fall B: Die lineare Abb. ist eine Drehspiegelung. Fall C: Die lineare Abb. ist eine Drehung Meine Ideen:* zu Frage 1) siehe oben zu Frage 2) Fall A und B: Im Allgemeinen bestimme ich doch immer erst die Drehachse $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ bzw. daraus dann die Hyperebene $\begin{eqnarray} H= D^\perp \end{eqnarray}$ und kann mittels der Formel $\begin{eqnarray} s_{H}(v)=v-2\frac{vv_{0}}{\|\|v_{0}\|\|^{2} }v_{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\neq v_{0}\in H^\perp=D \end{eqnarray}$ die erste Spiegelungsmatrix ermitteln, indem ich die Lösung als Matrix darstelle. Wie ich jetzt weiter vorgehen soll, z.b bei der Drehung ist mir ein wenig schleierhaft. In einer Übung wurde hiernach die ermittelte Spiegelung von rechts an die Matrix ran multipliziert, sodass ich eine Drehung erhalte (gilt das immer so? und wenn ja warum? Und wenn ja, ist das dann die Drehung zu der linearen Drehungsspiegelung. Also stimmt der Drehwinkel und die Drehachse (obwohl ja anderer Eigenraum (zum EW +1 statt -1)) mit der der Drehspiegelung überein? In der Übung war es nämlich so und ich würde gerne wissen, ob das i. A. gilt.) Dann wäre das weitere Vorgehen doch erstmal auch wie im Fall C zu betrachten, oder nicht? Falls ja, suche ich mir dann doch wieder eine Spiegelung wie oben beschrieben. Aber genau hier habe ich nun ein weiteres Problem, was ich in der Übungslösung nicht nachvollziehen kann: Wie bereits erwähnt stimmt die Drehachse der Drehung hier mit der Drehachse der Drehspiegelung überein. Aber woran spiegelt nun hier meine zu ermittelnde Spiegelung? Schließlich hat die Drehung ja keine Hyperebene. In der Übung stimmt das orthogonale Komplement zu dieser Hyperebene nämlich auch nicht mit der Drehachse überein und ist ein anderer Vektor, was mir zeigt, dass ich hier die Hyperebene anders ermitteln muss. Aber wie genau mach ich das? Nutze ich hierbei meine Drehachse? Ich brauche ja eben das orthogonale Komplement der Hyperebene, was ich dann in die Formel $\begin{eqnarray} s_{H}(v)=v-2\frac{vv_{0}}{\|\|v_{0}\|\|^{2} }v_{0} \end{eqnarray}$ einsetzen kann um die Spiegelung zu ermitteln. Kann mir einer helfen? Wäre euch super dankbar für jede Hilfe :-)

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