Reihenberechnung

24.03.2019, 22:45	LieberMalNachfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenberechnung Gesucht ist der Wert der Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+k)} \end{eqnarray}$ mit k natürliche Zahlen Mittels Partialbruchzerlegung erhalte ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+k)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}) \end{eqnarray}$ Schreibe die n-te Partialsumme auf, um ein Muster zu erkennen: $\begin{eqnarray} = \frac{1}{k}(1-\frac{1}{1+k} + \frac{1}{2}-\frac{1}{2+k} + \frac{1}{3}-\frac{1}{3+k} + ... + \frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}) \end{eqnarray}$ Dies ist immer die Stelle, wo ich nicht weiterkomme (sofern es bisher überhaupt richtig ist). Im Prinzip müsste ich dies nun sinnvoll umschreiben und dann n gegen unendlich gehen lassen. Praktisch komme ich aber nicht weiter. Ist das so bisher richtig und wenn ja, wie komme ich weiter?
25.03.2019, 07:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihe über die reziproken Quadratzahlen ist eine konvergente Majorante mit Wert 2, also sind die Reihen für alle k konvergent.
25.03.2019, 09:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@LieberMalNachfragen Wenn du für allgemeines $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nicht erkennst, was hier passiert (Teleskopeffekt), dann versuche es doch mal für ausgewählte "kleine" $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ aufzuschreiben, also k=1, k=2, k=3, ... bis du es siehst. $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \ldots = \frac{1}{1}\left(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \ldots = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} + \ldots \right) \end{eqnarray}$

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