Partielle Ableitungen f(x,y)

25.03.2019, 22:23

LieberMalNachfragen

Partielle Ableitungen f(x,y)

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{3x^2 y - y^3}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ für x, y ungleich 0.

Wobei $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ sein soll.

Gesucht sind die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0).

Ich würde jetzt mittels Definition rechnen:

$\begin{eqnarray*} \partial_x f(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\begin{pmatrix} h \\ 0 \end{pmatrix} ) - f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} )}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_y f(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\begin{pmatrix} 0 \\ h \end{pmatrix} ) - f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} )}{h} \end{eqnarray*}$

Bei beiden kriege ich als Ergebnis 0 raus. Damit stimmen der Funktionswert an der Stelle (0,0) mit den partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) überein und somit ist f insgesamt stetig.

Wie folgere ich jetzt noch die Differenzierbarkeit von f? Aus der Stetigkeit folgt das ja leider nicht.

Kann ich die Richtunsableitungen an der Stelle (0,0) in Richtung der x- und y-Achse berechnen und das dann daraus folgern? verwirrt

Danke für eure Zeit.

25.03.2019, 23:12

HNF

Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu zeigen, dass f ist stetig kannst du Polarkoordinanten verwenden. $\begin{eqnarray*} x=rcos(phi) und y=rsin(phi) \end{eqnarray*}$ . Mit r>0 und Phi ist Menge [0; 2pi). Setzt man das in die Funktion ein und lässt den limes laufen. $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} f(rcos(phi); rsin(phi)) \end{eqnarray*}$

Man macht dies dann für die partiellen Ableitungen. Sind die stetig, folgt dass f diff'-bar ist.

26.03.2019, 08:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurze Überprüfung meiner Lösung (partielle Ableitungen f(x,y))

Zitat:

Original von LieberMalNachfragen
Bei beiden kriege ich als Ergebnis 0 raus. Damit stimmen der Funktionswert an der Stelle (0,0) mit den partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) überein und somit ist f insgesamt stetig.

Mir ist nicht klar, was du mit "Damit stimmen der Funktionswert an der Stelle (0,0) mit den partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0) überein" sagen willst. Was hat der Funktionswert mit der Steigung zu tun? Aus der Existenz der partiellen Ableitungen läßt sich auch nicht die Stetigkeit von f folgern.

Zitat:

Original von LieberMalNachfragen
Wie folgere ich jetzt noch die Differenzierbarkeit von f? Aus der Stetigkeit folgt das ja leider nicht.

Wie HNF schon sagte, folgt aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen die Differenzierbarkeit von f. Eine andere Möglichkeit wäre, die Differenzierbarkeit mittels ihrer Definition nachzuweisen.

26.03.2019, 13:22

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurze Überprüfung meiner Lösung (partielle Ableitungen f(x,y))
Bei der partiellen ableitung nach y kommt nicht 0 heraus.

26.03.2019, 13:34

HNF

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, dann muss man (leider) die Diff'-barkeit, wie klarsoweit sagte, mit der Definition für mehrdimensionale Fkt'en nachweisen.

26.03.2019, 13:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurze Überprüfung meiner Lösung (partielle Ableitungen f(x,y))

Zitat:

Original von URL
Bei der partiellen ableitung nach y kommt nicht 0 heraus.

Hm, bei mir schon, oder habe ich geschielt? verwirrt

26.03.2019, 13:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

URL hat schon Recht, da kommt -1 raus.

26.03.2019, 14:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt dort auch angekommen. Habe tatsächlich geschielt. Hammer

26.03.2019, 21:27

LieberMalNachfragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, man sollte das "geteilt durch h" natürlich dann auch nicht vergessen. Dann kommt natürlich -1 raus.

Vorab: Entschuldigt bitte, ich schreibe am Freitag eine Klausur und bin aus einem anderen Semester. Die Vorlesungsunterlagen vom Kurs, auf die sich die Klausur bezieht, stehen mir nicht mehr zur Verfügung, da früheres Material aus dem Online-Zugang aus Copyright-Gründen gelöscht wird. Das ist nicht so schlimm, da ich den Kurs ja bereits in einem anderen Semester gehört habe und anhand der Übungsaufgaben (die noch zur Verfügung stehen), sehe ich, dass es im Prinzip deckungsgleich ist mit "meinem" Semester. Nur das letzte "Extrablatt" greift in diesem Kurs bereits die mehrdimensionale Analysis etwas auf. Nun fehlt mir aber eine Definition für Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit für Funktionen mit mehreren Veränderlichen. Ich kenne die Richtungsableitungen und die partiellen Ableitungen.

Wie ist jetzt die Diffbarkeit von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert und wie die Stetigkeit?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Ich habe das jetzt intuitiv aus dem Eindimensionalen abzuleiten versucht. Aus Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (im Mehrdimensionalen $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) ) \end{eqnarray*}$ folgt Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ . Jetzt habe ich einfach gedacht, dass mit "differenzierbar" hier die partiellen Ableitungen genügen. Offensichtlich ist das aber nicht so. Hammer

27.03.2019, 10:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir uns mal auf Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beschränken, dann ist Stetigkeit analog dem Eindimensionalen definiert:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 gibt, so daß für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb D \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ||x - x_0|| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Dabei ist ||.|| eine Norm für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ (typischerweise die euklidische Norm).

Bei der Differenzierbarkeit braucht es neben der Existenz der partiellen Ableitungen in x_0 auch noch diese Eigenschaft:

Für $\begin{eqnarray*} h \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{||h|| \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) - (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0), \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0)) \cdot h}{||h||} = 0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist das Produkt im Zähler des obigen Bruchs das Skalarprodukt.

Alternativ reicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in x_0 .

Neue Frage »

Antworten »

Partielle Ableitungen f(x,y)

Verwandte Themen