Winkelfunktionen

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frighter Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelfunktionen
Hallo Mathematiker & Interessierte,

ich habe 2 Fragen zu den Winkelfunktionen:

1. Als Bsp. für meine Frage werde ich mich im folgenden auf den Sinus beziehen. Auf allen Seiten zum Thema Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktionen) wird einerseits davon geschrieben, dass Sinus (eines Winkels) eine Winkelfunktion sei. Andererseits wird auf jenen Seiten unter dem Begriff Winkelfunktion gleichzeitig folgender Zusammenhang beschrieben:



Hinter dem Begriff/Operator Sinus (kurz. sin) muss es offensichtlich eine eigene "Berechnungsvorschrift", sprich Funktion geben, die aus einem Winkel das entsprechende Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck berechnet. Meine erste Frage ist daher:
Bezieht sich der Begriff Winkelfunktion nun auf oder auf den Zusammenhang ?

2. Welche "Berechnungsvorschrift" bzw. Funktion verbirgt sich hinter dem Sinus bzw. "sin"?

Gruß
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia sagt:

Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen (seltener: Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen) bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen...

Durch die entsprechenden Seitenverhältnisse ist der Winkel ja eindeutig festgelegt bzw der Winkel legt die Seitenverhältnisse fest.

Sinus an sich ist eine Funktion. Im allgemeinen Stelle ich mir eine Funktion als etwas vor in das ich etwas reinwerfe, z.B. einen Winkel und daraus etwas erhalte, in diesem Fall das Seitenverhältnis.

Klärt das deine Verwirrung etwas auf?
Lg
 
 
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mit der Benennung als Winkelfunktion komme ich prinzipiell schon klar.

Die wichtigere Frage ist für mich aber, welche Funktion bzw. welche "Berechnungsvorschrift" hinter dem steht? Diese Funktion, am besten mit Herleitung, brauche ich. Falls irgendeiner das also weiß und hier erklären könnte bzw. einen entsprechenden Link zur Verfügung stellt, hätten sich meine Fragen erledigt. smile

LG
nata6 Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellung als Reihe?
Zitat:
welche "Berechnungsvorschrift" hinter dem steht?


Hallo,

vielleicht ist eine Potenzreihenentwicklung das, was du suchst.

Dazu hier einige Suchbegriffe, mit denen du selber eine vielleicht gesuchte Antwort finden kannst:
"Reihenentwicklung vom sinus", "reihenentwicklung der sinusfunktion", "Taylorreihe der sinusfunktion", "Taylorreihe für Sinus"

Hier im board fand ich auf die Schnelle:

8. Zeile:
/thread.php?threadid=539389

Die ersten drei Summanden ausgerechnet stehen unter "Meine Ideen:
Taylorreihe für den Sinus lautet:"
/thread.php?threadid=558936
nata6 Auf diesen Beitrag antworten »

Berichtigung zum zweiten mit der Anmerkung von klauss:
"Taylorreihe ist falsch, da die alternierenden Vorzeichen nicht beachtet"
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

die Möglichkeit des Taylorpolynoms für die Winkelfunktion soll mir an der Stelle reichen. Danke für die Hilfe. Thema hat sich damit für mich vorerst erledigt.

LG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis kommen dem Funktionsbegriff wesentlich näher.
Hierbei ist das Argument (der x-Wert) der Winkelfunktion die zugehörige Bogenlänge des Winkels.
Der Funktionswert (des Sinus) ist dann die dem Winkel gegenüberliegende (senkrechte) Kathete, der des Cosinus die zugehörige waagrechte Kathete des ersichtlichen rechtwinkeligen Dreieckes.

[attach]49061[/attach]

[attach]49060[/attach]

Es sind dabei dann auch die weiteren Zusammenhänge unmittelbar und klar abzulesen ...

mY+
frighter Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für den neuen Ansatz. In die Richtung hatte ich zu Beginn nämlich auch gedacht. Folgendes fehlt mir dazu aber noch bzw. fällt mir auf:

1. Wie lautet die Berechnungsvorschrift um aus dem Winkel bzw. der Bogenlänge dann Kathete und/oder Ankathete zu berechnen?

Bei Verwendung von Winkel x im Bogenmaß im Einheitskreis ergibt sich , also wie von dir in Worten geschrieben .

An der Stelle fehlt mir ein entsprechendes Berechnungsverfahren für Gegenkathete und/oder Ankathete, selbst wenn ich den dargestellten Zusammenhang zwischen Winkel und Bogenlänge habe. Kann mir jemand die Info noch geben bzw. mich zu einem solchen Berechnungsverfahren verlinken? Oder übersehe ich gerade einfach nur etwas?

LG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Winkelfunktion sin(x) ordnet also dem Winkel x im Bogenmaß einen festgeschriebenen Funktionswert zu.
Dieser Funktionswert resultiert eben aus der erwähnten Potenzreihe, diese ist sozusagen fest verdrahtet, z.B. im TR, wenn man das so sagen kann.

Die Winkelfunktion (trigonometrische oder goniometrische Funktion) ist eine transzedente Funktion, sie lässt sich nicht durch einen geschlossenen (algebraischen) Ausdruck darstellen, sondern als Grenzwert einer Reihe.

Winkelwerte im Gradmaß werden intern (automatisch) in das Bogenmaß umgerechnet, dazu lautet die Beziehung


-------------------------

Zu den Berechnungsverfahren:

Trigonometrische Berechnungen werden mit den aus dem EK (Einheitskreis) abgeleiteten und bekannten Verhältnissen der An-, Gegenkathethe und der Hypotenuse durchgeführt.
Im EK ist die Hypotenuse = 1 und die Kathethen sind direkt sin(x) bzw. cos(x)

Ist nun die Hypotenuse c = 10 und die dem Winkel gegenüberliegende Kathethe a = 6, so gilt:

.

Daraus wird mittels der Umkehrfunktion (arcussinus) der Winkel ermittelt:



Funktionsmäßig liegt dieser Winkel natürlich wieder im Bogenmaß vor, die TR können diesen allerdings (mittels des Schalters DEG) in das Gradmaß umrechnen.
Wenn umgekehrt der Winkel und die Hypotenuse bekannt sind, so folgt

.

Es wird immer mit der fest "verdrahteten" Winkelfunktion operiert. In der Folge dient sie dann zu trigonometrischen Berechnungen weiterer anderer Größen.
-------------

Bei dieser Gelegenheit sei darauf hingewiesen, dass in der (Funktions-)Analysis immer mit dem Bogenmaß zu operieren ist.
Bei trigonometrischen Mess-Aufgaben wird hingegen das Gradmaß durchaus seine Berechtigung haben, auch deswegen, weil es anschaulich ist.

30° oder = 0.5336, das ist hier die Frage.
Oder: sin(30°)=0.5 oder sin(0.5336) = 0.5, das ist gleichbedeutend.

mY+
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