Grenzwertberechnung

26.03.2019, 17:53	Mineralwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung Meine Frage: Hallo ihr Lieben, der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{x^{3}+ 2x^{2} } - x\right) \end{eqnarray}$ soll berechnet werden. Leider komme ich nicht weiter. Meine Ideen: Meine bisherige Rechnung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{x^{3}+ 2x^{2} } - x\right) = \lim_{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{x^{3}\left(1+ 2\frac{1}{x}\right) } - x\right)= \lim_{x \to \infty } \left(x\cdot \sqrt[3]{\left(1+ 2\frac{1}{x}\right) } - x\right)= \lim_{x \to \infty } \left(x\cdot \left(\sqrt[3]{\left(1+ 2\frac{1}{x}\right) } - 1\right)\right) \end{eqnarray}$ und danach bin ich ratlos... eigentlich müsste $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{1+2\frac{1}{x} }\right)- 1 = 0 \end{eqnarray}$ sein und dann wäre der Grenzwert $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laut Ergebnis müsste allerdings $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ rauskommen.
26.03.2019, 18:28	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung Naja, so bekommst du permanent unbestimmte Ausdrücke. Kommt man nicht wirklich mit weiter. Sehe ich so auf Anhieb zumindest keine Möglichkeit. Ein möglicher Weg wären binomische Formeln. Es ist $\begin{eqnarray} a^3-b^3 = (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) \end{eqnarray}$ Aufgelöst nach $\begin{eqnarray} (a-b) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} \end{eqnarray}$ In deinem Fall dann halt mit $\begin{eqnarray} a=\sqrt[3]{x^{3}+ 2x^{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=x \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ergäbe $\begin{eqnarray} a^3-b^3 = x^3+2x^2-x^3=2x^2 \end{eqnarray}$ Und das $\begin{eqnarray} {a^2+ab+b^2} \end{eqnarray}$ , da müsste man halt ein bisschen mit rumrechnen. Geeignet ausklammern, dann kürzen usw. Ist ein bisschen Rechnerei, sollte aber zum Ziel führen. Nehme ich an.
26.03.2019, 20:00	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine einfache Möglichkeit den Ansatz zu retten wäre $\begin{eqnarray} t:=1/x \end{eqnarray}$ zu substituieren. Der Grenzwert geht über in $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+2t} -1}{t} \end{eqnarray}$ . Einmal L'Hospital und man ist fertig.
27.03.2019, 01:03	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
AM-GM-HM angewandt auf $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x\cdot x\cdot (x+2)} \end{eqnarray}$ liefert direkt folgendes, schönes Sandwich: $\begin{eqnarray} \frac 23\geq\sqrt[3]{x^3+2x^2}-x\geq\frac 2{3+\frac 4x}. \end{eqnarray}$

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