Folgen Flächeninhalt Quadratwurzel

26.03.2019, 19:05

Pinguuuuuu

Folgen Flächeninhalt Quadratwurzel

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich mache meine GFS über Folgen und bin gerade dabei den Grenzwert von Folgen anhand des Flächeninhaltes der Quadratpflanze zu erklären. Allerdings habe ich da einige Probleme, nämlich wie beweise ich, dass der Grenzwert 1,5 ist?

in meinem Mathebuch sagen sie Folgendes: Rechnerisch kann man die Vermutung, dass An = 1+ 1/3 + (1/3)2+... (1/3)neinen Grenzwert hat, folgendermaßen beweisen: Man schriebt unter die Summe Andas 1/3- fache der Summe so, dass gleiche Summanden untereinander stehen:

An= 1+1/3 + (1/3)2+ ... + (1/3)n

1/3 An= 1/3 + (1/3)2+ ... + (1/3)n + (1/3)n+1

Subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander, so erhält man 2/3An= 1- (1/3)n+1und durch Multiplikation mit 2/3 schlussendlich An= 3/2-3/2* (1/3)n+1. Für n gegen unendlich strebt 3/2*(1/3)n+1gegen null und damit gilt:

lim An= 3/2

n-> unendlich

Meine Ideen:
Nun verstehe ich nicht warum sie einfach die beiden Gleichungen subtrahieren und wie sie überhaupt auf die Gleichungen kommen, also warum sie einfach 1/3 Anmachen. Außerdem verstehe ich auch nicht wie sie schlussendlich auf die 3/2 als Grenzwert kommen...

Wenn ihr andere Beweise kennt mit denen man den Grenzwert von 1,5 ermitteln kann dann könnt ihr die mir auch gerne schreiben smile

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand hilft ich bin nämlich ein wenig verzweifelt. Danke schon mal im Voraus !

27.03.2019, 08:37

klarsoweit

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RE: Folgen Flächeninhalt Quadratwurzel

Zitat:

Original von Pinguuuuuu
in meinem Mathebuch sagen sie Folgendes: Rechnerisch kann man die Vermutung, dass An = 1+ 1/3 + (1/3)2 +... (1/3)n einen Grenzwert hat, folgendermaßen beweisen: Man schriebt unter die Summe An das 1/3- fache der Summe so, dass gleiche Summanden untereinander stehen:

An = 1+1/3 + (1/3)2 + ... + (1/3)n

1/3 An = 1/3 + (1/3)2 + ... + (1/3)n + (1/3)n+1

Potenzen als Faktoren an die Basis setzen, halte ich grundsätzlich für keine gute Idee (mal abgesehen von fehlenden Klammern). Schreiben wir das mal in einer lesbaren Form:

(I) $\begin{eqnarray*} A_n = 1 + \frac 1 3 + \left( \frac 1 3 \right)^2 + \cdots + \left( \frac 1 3 \right)^n \end{eqnarray*}$

Nun wird diese Gleichung auf beiden Seiten mit 1/3 multipliziert:

(II) $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 A_n = \frac 1 3 + \left( \frac 1 3 \right)^2 + \left( \frac 1 3 \right)^3 + \cdots + \left( \frac 1 3 \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Bis auf den ersten Summanden der rechten Seite von Gleichung (I) und dem letzten Summanden der rechten Seite von Gleichung (II) sind die beiden rechten Seiten identisch. Wenn man also die beiden Gleichungen subtrahiert, also (I) - (II) bildet, erhält man:

$\begin{eqnarray*} A_n - \frac 1 3 A_n = 1 - \left( \frac 1 3 \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das erklärt erst mal das Verfahren. Generell steckt dahinter die Summenformel der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Man kann den Beweis analog wie oben führen oder mit der vollständigen Induktion.

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