Bestimmen der Spiegelebene

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Math_2017 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen der Spiegelebene
Meine Frage:
Hallo

Folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Voraussetzung:
ist der 2-dim. affine Raum

Nun soll ich eine Spiegelungshyperebene der affinen Spiegelung finden für die folgendes gilt:




Meine Ideen:
Ich hab allerdings wenig Ideen wie das funktioniert. Ich bräuchte also dringend einen kleinen Denkanstoss oder mal einen Ansatz.

Meine Überlegungen bisher:
Da ich hier ja einen Wert gegeben habe, wird man auf die Lösung bestimmt mittels eines LGS kommen. In der Spiegelung selber setze ich den Wert (1,1) ein und bekomme die Lösung (3,3) raus.
Die Spiegelung selber müsste die affine Abbildung sein, also müsste ich hier doch ein LGS aufstellen können. Allerdings weiß ich nicht wie.
Anschließend müsste ich die Hyperebene doch leicht bestimmen können, wenn ich weiß wie die affine Abbildung aussieht.
Ist die Überlegung soweit richtig?
LG
______________________________________________

An die Moderatoren: Kann man das vielleicht in „Meine Ideen“ verschieben und das bisherige einfach dadurch ersetzen? Damit die Frage nicht als beantwortet markiert wird. Würde mich freuen smile

Edit (mY+): Was hiermit geschehen ist!

Ich habe mir das ganze Problem nun einmal aufgezeichnet. Die gesuchte Spiegelebene ist doch gerade der Bisektor der Punkte und
Zeichnerisch komme ich dann auf folgende Lösung:



Da ich allerdings einen rechnerischen Weg gehen muss und möchte, habe ich nun einmal ein LGS aufgestellt in der Form:



Nun ja sehr viele Unbekannte. Das hat mich bisher davon abgehalten hier weiter zu rechnen.

Da ich allerdings ja schon ein Ergebnis habe, ziehe ich es in die Gleichung rein und stelle somit folgendes LGS auf:



Das übertrage ich nun in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und erhalte nach Umformungen:



Da ich ja eine Gerade bestimmen muss, muss meine Lösung also eine Nullzeile ergeben. Somit muss und erfüllt werden.

Dadurch erhalte ich die Lösung der Unbekannten: a=b=c=d=1 und somit die folgende Hyperebene:



Das würde dann auch mit meiner zeichnerischen Lösung übereinstimmen.

Allerdings hätte ich dann die folgende affine Spiegelung:



Dies ist allerdings offensichtlich gar keine Spiegelung bzw. Isometrie, da offensichtlich det(A)=0

Ist mein Ansatz also falsch? Habe ich überhaupt die richtige Lösung und wenn ja zufällig? Ich bin ein wenig verwirrt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen der Spiegelebene
Zitat:
Original von Math_2017
Ich habe mir das ganze Problem nun einmal aufgezeichnet. Die gesuchte Spiegelebene ist doch gerade der Bisektor der Punkte und
Zeichnerisch komme ich dann auf folgende Lösung:


Das ist richtig.

Zitat:
Da ich allerdings einen rechnerischen Weg gehen muss und möchte, habe ich nun einmal ein LGS aufgestellt in der Form:

Du solltest die Eigenschaften der Spiegelung benutzen. Die Spiegelgerade muss durch den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Spiegelpunkte gehen und auf der Verbindungsstrecke senkrecht stehen. Du hast also einen Punkt von und einen Normalenvektor von . Damit kannst du in Koordinatenform sofort hinschreiben. Falls gewünscht, kann man dann die Koordinatenform in die Parameterform umwandeln.

Die Transformation bekommt man, indem den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Spiegelpunkte entlanag der Verbindungsstrecke in den Koordinatenursprung verschiebt. Dann spiegelt man an der verschobenen Spiegelgeraden, die jetzt durch den Koordinatenursprung geht und schiebt danach alles wieder zurück. Ich komme damit auf

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