Holomorphie/Dichtheit

28.03.2019, 11:13

Sebastian75

Holomorphie/Dichtheit

Hallo, es geht um die Äquivalenz:
f hat in z0 eine wesentliche Singularität.
Das Bild in einer Umgebung der Singularität liegt dicht in C.
Dabei ist vorausgesetzt, dass f holomorph ist in $\begin{eqnarray*} 0<|z-z_0|<r \end{eqnarray*}$
Warum wird die 0 ausgeschlossen. Liegt es einfach daran, dass f einfach gar nicht definiert sein würde?

28.03.2019, 14:14

Leopold

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RE: Holomorphie/Dichtheit

Zitat:

Original von Sebastian75
Warum wird die 0 ausgeschlossen. Liegt es einfach daran, dass f einfach gar nicht definiert sein würde?

Genau daran liegt es. Freude

$\begin{align*} \left| z - z_0 \right| = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z = z_0 \end{align*}$

Und $\begin{align*} f \end{align*}$ soll ja in $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ eine wesentliche Singularität haben, kann also gar nicht definiert sein. Nicht einmal eine Fortsetzung $\begin{align*} f(z_0) = \infty \end{align*}$ (im Sinn der Ein-Punkt-Kompaktifizierung) ist möglich. Das wäre bei einem Pol der Fall.

28.03.2019, 14:43

Sebastian75

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RE: Holomorphie/Dichtheit
Danke Leopold smile

Ich habe noch eine andere Frage.
f erfülle die gleichen Voraussetzungen:
f hat in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ eine hebbare Singularität, wenn f beschränkt ist in einer Umgebung um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ .
Für die Hinrichtung kann man f in eine Potenzreihe entwicklen. Dabei stellt man dann fest, dass diese in $\begin{eqnarray*} |z-z_0|<r \end{eqnarray*}$ holomorph ist. Warum sollte dann f und entsprechend die Reihe beschränkt sein?

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