Idempotenzen finden

28.03.2019, 12:44

Nathan25

Idempotenzen finden

Hallo miteinander

Wie kann ich alle Idempotenzen in $\begin{eqnarray*} F_2 [x] \ / \ (x^7-1) \end{eqnarray*}$ finden?

Im Restklassenring Z/6 bilden bspw. 3*3 = 3 oder 4*4 = 4 Idempotenzen, aber wie finde ich diese in meiner Aufgabe?

Danke für die Hilfe!

28.03.2019, 13:48

jester.

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Eine Faktorisierung von $\begin{eqnarray*} x^7-1 \end{eqnarray*}$ in irreduzible Polynome liefert einen Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x ^7-1) \end{eqnarray*}$ zu einem direkten Produkt von Körpern nach dem chinesischen Restsatz. Da es in Körpern nur triviale Idempotente gibt, lassen sich die Idempotente in dem direkten Produkt sehr leicht beschreiben.

29.03.2019, 13:04

Nathan25

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Alllllll right smile

Also sind 0 und 1 Idempotenzen?

29.03.2019, 18:41

jester.

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Zitat:

Original von Nathan25
Also sind 0 und 1 Idempotenzen?

Nein. Es gibt ein geeignetes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und geeignete irreduzible Polynome $\begin{eqnarray*} f_1, ... , f_n \in \mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x^7 - 1 = \prod_{i=1 }^n f_i \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2[x]/(x^7 - 1) \cong \bigoplus_{i=1}^n \underbrace{\mathbb{F}_2[x]/(f_i)}_{=: K_i} \end{eqnarray*}$ , wobei jedes $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und nur die trivialen Idempotente $\begin{eqnarray*} 0,1 \end{eqnarray*}$ enthält.

Überzeuge dich davon, dass dann die Idempotente in $\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^n \mathbb{F}_2[x]/(f_i) \end{eqnarray*}$ von der Gestalt $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ sind.

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