Problem mit Kontraposition

28.03.2019, 21:33

Pause121

Problem mit Kontraposition

Meine Frage:
Hallo,

ich habe mich ein wenig mit Aussagenlogik beschäftigt und bin bei der Subjunktion und der Kontraposition auf ein Problem gestoßen. Es ist wohl mehr ein Knoten in meinem Kopf, aber ich bekomme ihn nicht gelöst:

Für zwei Aussagen A und B gelte $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ . Die Kontraposition lautet dann ja $\begin{eqnarray*} \neg B \rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ . Klar ist: Aussage und Kontraposition müssen äquivalent sein (also $\begin{eqnarray*} (A \rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B\rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$ )

Folgendes Problem: Habe ich eine Implikation "Wenn die Sonne scheint, dann ist es hell", so weiß ich, dass die Folgerung "Wenn die Sonne nicht scheint, dann ist es hell" durchaus ein zulässiger Schluss nach Wahrheitstabelle ist.
Für die Kontraposition müsste dies ja auch gelten, aber hier wäre der Satz dann m.E. "Wenn es dunkel ist, dann scheint die Sonne". Das ist aber kein zulässiger Schluss... Wo liegt mein Denkfehler?

Meine Ideen:
Rein von der formalen Logik (wenn wir die Aussagen inhaltsleer lassen) ist mir das ganze klar und es ist auch schlüssig. Also wenn man jetzt eine Wahrheitstabelle aufstellt, dann sähe diese ja folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} A & B & | & A\rightarrow B & \\\hline W & W &| & W \\ W & F &| & F \\ F & W &| & W \\ F & F &| & W \end{vmatrix}<br /> \begin{vmatrix}\neg B & \neg A & | & \neg B \rightarrow \neg A\\\hline F & F &| & W \\ W & F &| & F \\ F & W &| & W \\ W & W &| & W \end{vmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
Ich hoffe das stimmt soweit...
Mein Problem ist: Sobald ich A und B mit Inhalt fülle, erscheint mir die dritte Zeile bei der Kontraposition als ungültiger Schluss... verwirrt

Danke für die Hilfe
Pause

29.03.2019, 00:50

Moisyt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem mit Kontraposition
A= Wenn die Sonne scheint
B= ist es Hell

nicht A= Wenn die Sonne nicht scheint
nicht B = ist es nicht Hell

Also

Es ist nicht Hell, wenn die Sonne nicht scheint.

29.03.2019, 01:33

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem mit Kontraposition

Zitat:

Original von Moisyt
nicht A= Wenn die Sonne nicht scheint
nicht B = ist es nicht Hell

Also

Es ist nicht Hell, wenn die Sonne nicht scheint.

$\begin{eqnarray*} \neg B \rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ bedeutet "Wenn es nicht hell ist, dann scheint die Sonne nicht" oder äquivalent "Die Sonne scheint nicht, wenn es nicht hell ist".

Es könnte dennoch hell sein, obwohl die Sonne nicht scheint.

@Pause121:

Zitat:

Habe ich eine Implikation "Wenn die Sonne scheint, dann ist es hell", so weiß ich, dass die Folgerung "Wenn die Sonne nicht scheint, dann ist es hell" durchaus ein zulässiger Schluss nach Wahrheitstabelle ist.

Die Aussagen $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ sind nicht äquivalent.

29.03.2019, 06:07

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Subjunktion $\begin{eqnarray*} p\to q \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} \lnot p \lor q \end{eqnarray*}$ festgelegt.

d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} p\to q \Leftrightarrow \lnot q \to \lnot p \end{eqnarray*}$ Dies kannst du überprüfen und zeigen, dass die Bijunktion

$\begin{eqnarray*} p\to q\, \leftrightarrow\, \lnot q \to \lnot p \end{eqnarray*}$ immer wahr, eine Tautologie ist.

Haben die Variablen sprachlichen Inhalt, dann kann man sich merken:
Aus etwas Falschem kann man alles mögliche folgern. Eine in Diskussionen gängige Praxis.

etwas laxes Beispiel:
a.) Wenn meine Katze ein Pferd wäre, dann könnte ich den Baum hinaufreiten Augenzwinkern

ist eben formal richtig.
b.) Wenn Ostern und Pfingsten auf einen Tag zusammenfallen dann kauft Herr Müller seiner Frau 'nen neuen Pelzmantel.

Dein Beispiel mit Sonne und Helligkeit hat ein Problem: die Begriffe sind schwammig.
z.B. besser: Wenn es auf Helgoland richtig regnet, dann ist der Hubschrauberlandeplatz nass.

29.03.2019, 10:37

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere gilt $\begin{eqnarray*} (p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p) \end{eqnarray*}$ für alle Aussagen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ .

29.03.2019, 18:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	P Q ¦ (P -> Q) V (Q -> P) -----+------------------------ 1 1 ¦ 1 1 1 1 0 ¦ 0 1 1 0 1 ¦ 1 1 0 0 0 ¦ 1 1 1

31.03.2019, 10:25

Pause121

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

eine Subjunktion $\begin{eqnarray*} p\rightarrow q \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} \neg p\vee q \end{eqnarray*}$ festgelegt.

d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} p\rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \rightarrow \neg p \end{eqnarray*}$ Dies kannst du überprüfen und zeigen, dass die Bijunktion

$\begin{eqnarray*} p\rightarrow q \leftrightarrow \neg q \rightarrow \neg p \end{eqnarray*}$ immer wahr, eine Tautologie ist.

Das formale Nachweisen der Wahrheitstabellen ist nie mein Problem gewesen, sondern nur dass ich beim Anwenden immer wieder einen scheinbaren Widerspruch erhalten habe.

Aber gut, ich glaube, dass ich meinen Denkfehler gefunden habe... Aber zur Kontrolle:

Wenn ich anfangs festlege "Es ist hell" ist die wahre Aussage, dann ist das auch immer noch die wahre Aussage, wenn ich die Kontraposition formuliere. Sprich: Die Aussage "es ist dunkel" ist eigentlich falsch, weil ich das anfangs so definiert habe.

Entsprechend kann ich in der Kontraposition daraus alles mögliche folgern, also auch "die Sonne scheint".

Mein Problem lag vermutlich darin, dass ich versucht habe die Subjunktion fortzuführen, also wenn dort die Kontraposition steht und ich die Wahrheitswerte F W einsetze, dann heißt der Satz: "Wenn es dunkel ist, dann scheint die Sonne". Aber aus der Folgerung würde es mit der ursprünglichen Implikation weitergehen mit "Wenn die Sonne scheint, dann ist es hell". Aber in dieser Kette habe ich zwei unterschiedliche Wahrheitswerte für B, was ja nicht gleichzeitig geht und das hat mich verwirrt. Da ich ja aber von Beginn an eine falsche Aussage hatte, kann ich gar nicht wissen, ob die Sonne wirklich scheint. Entsprechend ist das Fortführen gar nicht zulässig gewesen.

Vielen Dank für die Denkanstöße und Hilfen!

Neue Frage »

Antworten »

Problem mit Kontraposition

Verwandte Themen