Außenwinkelsatz im Dreieck

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Telles Auf diesen Beitrag antworten »
Außenwinkelsatz im Dreieck
Hallo,

ich hab hier folgende Aufgabe, bei der ich auf dem Schlauch stehe:

Sei ABC ein Dreieck und X . Zeige |CX| < max{|CA|, |CB|}, wobei es genügt |CX| < |CA| zu zeigen, da O.B.d.A |CB| <= |CA| gilt.

Hier sollte ich den Außenwinkelsatz zusammen mit der Tatsache, das die größere Seite dem größeren Winkel gegenüberliegt (und umgekehrt), verwenden.

Der Außenwinkelsatz besagt, dass ein Außenwinkel eines Dreiecks stets größer ist, als jeder der nicht anliegenden Innenwinkel.

|AB| bezeichnet die Strecke von A nach B.
(AB) bezeichnet das Innere der Strecke AB, ohne die Eckpunkte.

Wäre dankbar für ein paar Tipps.

LG Telles
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht so richtig, wozu man den Außenwinkelsatz hier benötigen soll:

Aus (gestreckter Winkel) folgt, dass einer der beiden Winkel ist, o.B.d.A. sei das . Damit ist das automatisch der größte Winkel im Dreieck , und er liegt der Seite gegenüber, folglich gilt auch , fertig.

D.h. deine zweite Aussage "dass die größere Seite dem größeren Winkel gegenüberliegt" findet Verwendung, aber der Außenwinkelsatz wird überhaupt nicht benötigt.
 
 
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Wir arbeiten aber bisher nur mit Winkelkongruenzen, können daher noch keine Aussagen über Grad machen. Wir können lediglich Winkel addieren, wenn z.B. ABC einen Winkel bildet und ein Halbstrahl im Inneren dieses Winkels liegt. Diese zwei enstehenden Winkel können wir addieren, mehr noch nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann variiere halt den Beweis in der Richtung, dass der eine der beiden Teilwinkel und mindestens ebenso groß wie der andere ist, also o.B.d.A. . Anschließend folgt per Außenwinkelsatz und damit insgesamt und weiter wie oben.
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht schon Sinn, nur ist mir deine Folgerung aus dem Außenwinkelsatz nicht möglich, da ich lediglich den Satz zur Verfügung habe, wie ich ihn aufgeschrieben habe (schwacher Außenwinkelsatz).

Zusätzlich kann ich eben keine Aussagen über Summen von Winkel treffen, die keine Nebenwinkel sind.

Was ich auf alle Fälle einmal brauche ist eine Fallunterscheidung, wie du ja schon geschrieben hast.

Für die Fälle (Winkel):

und

Durch den schwachen Außenwinkelsatz kann ich eben nur sagen, dass die beiden Innenwinkel jeweils kleiner als der Außenwinkel sind.

Btw, welche Abkürzung hat denn das Winkelzeichen?
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habs jetzt mal anders versucht und mir drei Fälle angeschaut:

1) Winkel

Hier kann ich gut mit der Transitivität arbeiten, nämlich ist (Winkel) . Daraus folgt und durch Anwendung der "größere Seiten liegt größerer Winkel gegenüber" erhalte ich

2) Winkel

3) Winkel

Die Fälle 2)3) muss ich mir noch überlegen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje, dieses Rumgenöle in Dauerschleife ... keine Flexibilität, selbst mal was anzupassen. Du musst doch dann einfach nur

Zitat:
Original von HAL 9000
Anschließend folgt per Außenwinkelsatz

durch

Zitat:
Anschließend folgt per schwachen Außenwinkelsatz

ersetzen, schon ist auch das behoben - und es ist ja sogar noch einfacher. unglücklich


P.S.: Da du "Außenwinkelsatz" gesagt hast, hatte ich natürlich auch angenommen, dass du den normalen Außenwinkelsatz meinst. Muss man sich erstmal dran gewöhnen, dass ihr alles mögliche umdefiniert und euch merkwürdige Beschränkungen hinsichtlich Winkelbetrachtungen auferlegt.

EDIT: Deinen letzten Beitrag hatte ich noch nicht gelesen, hatte sich überkreuzt.
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Fall 2) lässt sich analog zu Fall1) behandeln, nur sind die beiden Winkel gleich.

Fall 3) bereitet mir jedoch Probleme.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In Fall 3) betrachte nicht Dreieck AXC, sondern BXC, und du kannst mit derselben Schlussweise wie in 1) (mit vertauschten Rollen von A und B) dann nachweisen. Da du vorausgesetzt hast, folgt daraus natürlich auch . Oder gehört Transitivität der Streckenlängen auch nicht mit zum erlaubten Repertoire? Augenzwinkern
Telles Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, die Transitivtät der Streckenlängen gehört zum erlaubten Repertoire smile

Besten Dank, die Aufgabe ist nun erledigt.
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