Unleserlich! Stetige Dichtefunktion (reelle Parameter bestimmen)

30.03.2019, 11:45

Ali_38

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Stetige Dichtefunktion (reelle Parameter bestimmen)

Hallo zusammen,

ich benötige Eure Hilfe bei der Lösung folgender Aufgabe

gesucht reelle Parameter a, b und c für folgende Funktion.

Bei stetiger Dichtefunktion (sprich Fx und alle reellen Zahlen nicht negativ).

fx(x) = ( x für 0 ≤ x ≤ 1 )
( ax2 + bx + x für 1 < x ≤ 2 )
( 0 sonst )

Kann mir jemand den Lösungsweg aufzeigen?

Vielen Dank für Eure Zeit!

Beste Grüsse,
Ali

30.03.2019, 12:33

Leopold

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Deine Angaben sind chaotisch. Man kann sie entweder nicht lesen oder der Tippfehlerteufel hat in außergewöhnlicher Weise zugeschlagen. Ich versuche daher, die Aufgabe zu erraten. Bitte bestätige, ob es um die folgende Dichtefunktion geht:

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ ax^2 + bx + c, & 1 < x \leq 2 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Zusätzlich soll $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig sein. Aus der Stetigkeit insbesondere bei $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ und der Integralbedingung (Integral von $\begin{align*} f \end{align*}$ , erstreckt über die reelle Achse, ist gleich 1) erhältst du zwei lineare Gleichungen. Damit kannst du zwei der Parameter $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ eliminieren. Dann mußt du dir noch überlegen, welche der übrig bleibenden Funktionen keine negativen Werte besitzen.

30.03.2019, 12:40

HAL 9000

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An sich liefert auch die Stetigkeitsbedingung bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ die benötigte dritte Gleichung.

30.03.2019, 12:42

Leopold

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Da kann man kaum widersprechen.

30.03.2019, 17:14

Ali_38

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Vielen Dank für Eure Beiträge.

In der Tat hat sich der Tippfehlerteufel bei mir eingeschlichen.

Ich bestätige gerne die erratene Beschreibung der Funktionen

Könnt Ihr mich nochmals bestätigen (Lösungsweg)?

1.) Stammfunktionen von beiden Integralen innerhalb der gegebenen Intervallen bilden

2.) Errechnen der reellen Parameter

a = 2
b = - 57/14
c = 15/7

Bei Fehler / Anregungen / Korrekturen wäre ich Euch sehr verbunden.

Vielen Dank für Eure Zeit.

@Leopold: Sorry für die "chaotischen Angaben".

30.03.2019, 18:03

Leopold

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Die Werte stimmen nicht. Damit wir den Fehler finden können, mußt du deinen Ansatz und gegebenenfalls noch den Lösungsweg angeben.

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30.03.2019, 19:01

Ali_38

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Zuerst habe ich die Integrale gebildet

von $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x \, dx = 1 \end{eqnarray*}$ und

von $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! ax^{2}+ bx +c \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

und danach Einsetzung der Intervallgrenzen (0,1 für 1. Integral, 1,2 für 2 Integral ) zuerst a, danach b und danach c ausgerechnet.

Sorry habe leider mit dem Formeleditor heute den Teufel drin...

30.03.2019, 19:30

Leopold

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Eine Skizze sagt mehr als tausend Worte:

[attach]49065[/attach]

Das Integral von 0 bis 1 ist kann doch niemals den Wert 1 besitzen. Schließlich wird hier die Fläche eines halben Einheitsquadrats bestimmt. Wie groß muß der Integralwert von 1 bis 2 jetzt sein, damit es sich um eine Dichte handelt?

31.03.2019, 11:14

Ali_38

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Beide Integralwerte müssen den Wert von 1/2 haben, sodass die Dichtefunktion stetig wird.

Das heisst ich muss beide Integrale in den Grenzen = 1/2 setzen, danach die reellen Parameter finden.

31.03.2019, 20:15

Ali_38

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Ich habe jetzt alles ausgerechnet. Komme auf

a= 1
b= 11/9
c= 0

Stimmen die Werte?

Könntet Ihr mir ansonsten den Weg zeigen, falls ich falsch liege?

31.03.2019, 21:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ali_38
Beide Integralwerte müssen den Wert von 1/2 haben

Was heißt "müssen": Der Integralwert von 0 bis 1 IST nun mal 1/2 (keine Wahlmöglichkeit), ergo muss wegen Gesamtintegralwert 1 das zweite Integral von 1 bis 2 auch gleich 1/2 sein.

Zitat:

Original von Ali_38
sodass die Dichtefunktion stetig wird

Nein: Mit Stetigkeit der Dichte hat das nun überhaupt nichts zu tun.

Zitat:

Original von Ali_38
Das heisst ich muss beide Integrale in den Grenzen = 1/2 setzen, danach die reellen Parameter finden.

Als "Grenze" 1/2 stimmt nun überhaupt nicht. Wie gesagt, es muss $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^2 f(x) ~ \dd x = \int\limits_1^2 \left(ax^2+bx+c\right) ~ \dd x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gelten.

Ansonsten steht oben alles schon: Sowohl an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ als auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ soll Stetigkeit herrschen. Das ergibt die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} 1 = a+b+c \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 4a+2b+c = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ali_38
a= 1
b= 11/9
c= 0

Stimmen die Werte?

Dürfte nun keine Überraschung sein, dass ich "Nein" antworten muss.

01.04.2019, 23:25

Ali_38

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Danke für deine ausführliche Antwort.

Das Integral ergibt doch die Stammfunktion

1/3 ax^3 + 1/2 bx^2 + cx (in den Grenzen 2 und 1)

8/3 a + 2b + 2c - (1/3 a + 1/2 b + c) = 1/2

Wieso kommst du auf die Gleichungen 1=a+b+c sowie 4a+2b+c=0??

Hammer

Hammer

??

02.04.2019, 09:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ali_38
Danke für deine ausführliche Antwort.

Wäre schön gewesen, wenn du die Antwort in ihrer Ausführlichkeit auch wirklich gelesen hättest, statt nur auf die Formeln zu starren und dabei die falschen inhaltlichen Zusammenhänge herbeizuphantasieren:

Zitat:

Original von HAL 9000
Sowohl an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ als auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ soll Stetigkeit herrschen. Das ergibt die beiden Gleichungen [...]

Ganz ausführlich:

Die Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ liefert via $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(1+0)=a+b+c \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1=a+b+c \end{eqnarray*}$ , dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} f(1+0) \end{eqnarray*}$ den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

Die Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ liefert via $\begin{eqnarray*} f(2)=4a+2b+c \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(2+0)=0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} 4a+2b+c=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe an der Stelle also NICHT über die Gleichung gesprochen, die aus der Integralwertbedingung entsteht. Und ja, diese ist $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3}a+ \frac{3}{2}b+c = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hast du die richtigen drei Gleichungen beisammen und kannst $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

02.04.2019, 22:14

Ali_38

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@ HAL 9000:

Merci vielmals für die verständliche Erklärung.
Ich habe deine Antwort gelesen, allerdings nicht direkt verstanden / anwenden können.

Habe folgenden reellen Parameter nach Gauss-Verfahren für LGS ausgerechnet.

a = 5/2
b = -17/2
c = 7

Stimmen diese?

Merci für doublecheck,

02.04.2019, 22:58

Leopold

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Da die lineare Funktion $\begin{align*} \text{(*)} \ y = 2-x \end{align*}$ offensichtlich das gestellte Problem für das Intervall $\begin{align*} [1,2] \end{align*}$ löst (ein Blick in meine Zeichnung oben genügt), kann nur Folgendes gelten: entweder ist deine Lösung nicht die einzige oder sie ist falsch. Denn mit $\begin{align*} a=0, \, b=-1, \, c=2 \end{align*}$ ist $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ im Ansatz vertreten.

03.04.2019, 09:26

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} a=0,b=-1,c=2 \end{eqnarray*}$ ist Lösung des Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} a+b+c &=& 1\\ 4a+2b+c &=& 0\\ \frac{7}{3}a+ \frac{3}{2}b+c &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und wenn man das ganze richtig durchführt wird man auch feststellen, dass es dessen einzige Lösung ist.

03.04.2019, 13:11

Ali_38

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Hallo mitenand,

Nein ich lag falsch, hatte einen ,,kleinen Fehler (-) Zeichen nicht betrachtet beim Lösen der Gleichungen.

Bin auch auf

a = 0
b = -1
c = 2

Gekommen.

Super vielen Dank für Euren Support.

Beste Grüsse,

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