Fourier Transformation Sinuspuls

30.03.2019, 19:33

Robert93

Fourier Transformation Sinuspuls

Hallo Leute,

bräuchte kurz wieder eure Hilfe.
Und zwar möchte ich für folgende Funktion eine Fourier-Transformation durchführen:

$\begin{eqnarray*} \left\{ {sin(t)\quad 0\le t<\pi\\0 \qquad \pi\le t\le2\pi} \right. \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(t+2\pi) = f(t) \end{eqnarray*}$

Die Berechnung für $\begin{eqnarray*} a_0 = 1/\pi \end{eqnarray*}$ war kein problem.

Für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{2}{2\pi}* \int_{0}^{\pi} sin(t)*sin(k*w*t)dt \end{eqnarray*}$ komme ich jedoch auf keine allgemeine Lösung.

Meine Frage: Ist es möglich eine allgemeine Lösung für $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von k zu finden, oder muss ich erst k = 1,2,3 usw. einsetzen und dann das Integral lösen?

30.03.2019, 21:18

Leopold

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Ich würde den Graphen um $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ nach rechts verschieben: $\begin{align*} g(t) = f \left( t - \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ besitzt dann eine reine Cosinus-Reihe als Fourier-Reihe.

$\begin{align*} a_k = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} g(t) \cos(kt) ~ \dd t = - \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(t) \cos(kt) ~ \dd t \end{align*}$

Man könnte jetzt im Integranden mit $\begin{align*} \cos(u) \cdot \cos(v) = \frac{1}{2} \left( \cos(u+v) + \cos(u-v) \right) \end{align*}$ weitermachen. Nach einiger Rechnung habe ich

$\begin{align*} g(t) = \frac{1}{\pi} - \frac{1}{2} \cos(t) + \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)(2k+1)} \cdot \cos(2kt) \end{align*}$

erhalten. Jetzt kann man wieder $\begin{align*} t \end{align*}$ durch $\begin{align*} t + \frac{\pi}{2} \end{align*}$ substituieren, um die Fourier-Reihe für $\begin{align*} f \end{align*}$ zu bekommen. Mit weiteren Umformungen erhält man schließlich

$\begin{align*} f(t) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \sin(t) - \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos \left( 2kt \right)}{(2k-1)(2k+1)} \end{align*}$

EDIT
komplizierte Darstellung vereinfacht

05.04.2019, 22:54

Robert93

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Zitat:

Nach einiger Rechnung habe ich...

Hallo Leopold,

dieses "nach einiger Rechnung" interessiert mich sehr Big Laugh

wie bist du drauf gekommen?

06.04.2019, 13:04

Leopold

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Für $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ erhält man $\begin{align*} a_0 = - \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(t) ~ \dd t = \frac{2}{\pi} \end{align*}$ . Und für $\begin{align*} k \geq 1 \end{align*}$ rechnet man:

$\begin{align*} a_k = - \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos \left( (k-1) t \right) + \cos \left( (k+1) t \right) \right) ~ \dd t \end{align*}$

Im Falle $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ gibt das $\begin{align*} a_1 = - \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( 1 + \cos(2t) \right) ~ \dd t = - \frac{1}{2} \end{align*}$

Für $\begin{align*} k \geq 2 \end{align*}$ folgt:

$\begin{align*} a_k = - \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos \left( (k-1) t \right) + \cos \left( (k+1) t \right) \right) ~ \dd t = \frac{1}{\pi} \cdot \left( \frac{\sin \left( (k-1) \frac{\pi}{2} \right)}{k-1} + \frac{\sin \left( (k+1) \frac{\pi}{2} \right)}{k+1} \right) \end{align*}$

Für ungerade $\begin{align*} k \end{align*}$ sind die Argumente im Sinus ganzzahlige Vielfache von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ und damit $\begin{align*} a_k = 0 \end{align*}$ . Bleiben die geraden $\begin{align*} k \end{align*}$ übrig. Substituiert man $\begin{align*} k \end{align*}$ durch $\begin{align*} 2k \end{align*}$ , bekommt man

$\begin{align*} a'_k = a_{2k} = \frac{(-1)^{k-1}}{\pi} \cdot \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)(2k+1)} \end{align*}$

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