Erwartungswert Würfelspiel

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PorFo Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Würfelspiel
Meine Frage:
Hallo,
ich schreibe am Montag eine Matheklausur, in welcher es um Wahrscheinlichkeitsrechnung gehen wird.
Ich bin gerade dabei, Aufgaben zum Erwartungswert zu bearbeiten.
Dabei geht es um folgende Aufgabe (siehe unten). Da ich leider keine Lösungen dafür habe, wollte ich fragen, ob ich mit meiner Rechnung richtig liege.

Die Aufgabe lautete: Beim Spiel ?die böse 3? ist der Einsatz 3 EUR. Dann werden zwei ideale Würfel geworfen. Fällt keine 3, erhält der Spieler die Augensumme in EUR ausbezahlt, fällt mindestens einmal die 3, so muss er zu dem Einsatz noch die Augensumme in EUR bezahlen. Bestimmen Sie den Erwartungswert. Ist das Spiel fair?

Meine Ideen:
Und zwar werden zwei Würfel geworfen. Ein Würfel hat sechs Seiten. Für zwei Würfel wären das dann insgesamt zwölf Seiten. Der Einsatz ist 3 ?.

Es gibt also, wenn man den Gewinn berücksichtigt, folgende Möglichkeiten: Er macht einen Verlust von - 2, - 1, - 6 oder einen Gewinn von 1, 2, 3. Er bekommt ja immer die Augenzahl ausgezahlt, man muss aber ja immer dem Einsatz berücksichtigen. Würfelt er eine 3, muss er zu dem Einsatz noch die Augenzahl zahlen, deshalb die - 6.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also, wenn ich mich nicht völlig irre, immer ein Zwölftel. Gebe ich das in die Erwartungswerts-Formel ein (also immer die Möglichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit von einem Zwölftel) komme ich auf - 0.25. Wenn ich das richtig verstanden habe, muss die Zahl bei Null liegen, wenn das Spiel fair sein soll. Das ist in dem Fall nicht so. Folglich ist das Spiel nicht fair, oder?

Tut mir leid, wenn die Frage dumm ist, aber ich bin in Mathe wirklich unterirdisch schlecht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Leider irrst Du Dich in mehreren Dingen.
Das fängt schon mit der irrigen Annahme an, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination mit zwei Würfeln sei . Es ist zwar richtig, dass jeder Würfel für sich genommen 6 Seiten ha, aber das bedeutet nicht, dass es 6+6 Möglichkeiten gibt. Du kannst doch zu jeder Zahl des ersten Würfels sechs des zweiten bekommen. Zeichne Dir am besten ein Baumdiagramm, dann siehst Du ja wieviele Möglichkeiten es wirklich gibt.

Der nächste Irrtum ist die Auszahlun. Wenn man zwei sechsen würfelt, erhält man doch 6+6=12 Euro. Ziehst Du den Einsatz ab, bleiben noch 9 Euro Gewinn. Die hast Du aber gar nicht in deiner Auflistung, wie auch einige andere Gewinn- bzw. Verlustmöglichkeiten. Auch hier hilft Dir das Baumdiagramm weiter, wenn Du mit der reinen Kombinatorik nicht zurecht kommst.
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert: Könnt ihr mir sagen, ob ich richtig liege?
Da hast Du die Anzahl der Spielausgänge erheblich unterschätzt. Betrachte die folgende "36-Felder-Tafel" mit allen Augensummen aller möglichen Würfelpaarungen.
Jedes Kästchen hat die Wahrscheinlichkeit 1/36. Die grünen Werte bekommt man ausgezahlt, die roten muß man zusätzlich zum Einsatz draufzahlen.
Daraus kannst Du eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Möglichkeiten der finanziellen Bilanz des Spielers aufstellen, der mit -3 € Einsatz anfängt, d. h. er geht aus dem Spiel raus entweder mit -3 € plus ein grüner Gewinn oder - 3 € minus eine rote Nachzahlung.

Das erste Gefühl trügt, das Spiel ist fair.


zu spät, aber dafür nun umfassende Hilfe vorhanden ... Wink
PorFo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert: Könnt ihr mir sagen, ob ich richtig liege?
Hi,
danke für die Antworten. Da habe ich mich wohl von den anderen Aufgaben beeinflussen lassen, bei denen es um Münzen ging und die nicht so ganz so kompliziert waren.

Also die Wahrscheinlichkeit ist für jedes Kästchen ein Sechsunddreizigstel. Jetzt stellt sich mir aber die Frage, wie ich das in die Formel einsetzen soll, um den Erwartungswert zu ermitteln.

Die Möglichkeiten (also die Gewinne) X die Wahrscheinlichkeit? Und das 36-mal? Das macht mein Taschenrechner nicht mit. Wie soll ich hier vorgehen?

Vielen Dank im Voraus.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise stellt man bei solchen Aufgaben eine kumulierte Tabelle auf, d.h. gleiche Gewinne werden in einer Spalte erfasst:

PorFo Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, okay. Versteh ich nicht so ganz um ehrlich zu sein Hammer

Also z.B. - 12 Verlust macht er ja gar nicht. Das maximale wäre - 9 und bei zwei Würfeln - 18.
Und wie kommt man auf k⋅P (G=K)?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du siehst seinen Einsatz, der auch weg ist, nicht als Verlust? verwirrt
PorFo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, stimmt Big Laugh
Bin ich doof. Den habe ich völlig vergessen. Okay, jetzt verstehe ich auch wie man auf KxP (G = K) kommt.

Aber wie komme ich jetzt auf den Erwartungswert? Ist das die Zeilensumme?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb hatte ich das so in die Tabelle geschrieben Augenzwinkern

Die Erwartungswertformel, die Du in deinem ersten Posting erwähnt hast, addiert doch genau diese einzelnen Einträge. Nichts anderes macht die Zeilensumme in der obigen Tabelle.
PorFo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber wenn ich die einzelnen Brüche addiere, komme ich auf 13 18zehntel. Ich verstehe nicht, wie ich daran erkennen soll, ob das Spiel fair ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das die Zeilensumme der letzten Zeile ist, dann wäre das Spiel nicht fair, da Du langfristig ja, aufs einzelne Spiel umgerechnet, Gewinn machen würdest.
Laut klauss ist das Spiel aber fair, so dass ich die Rechnung an deiner Stelle noch einmal überprüfen würde.
PorFo Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe die Rechnung nochmal überprüft. Das Ergebnis ist 13 18-tel. Ich habe gerechnet -24 36-tel + - 22 36-tel + - 20 36-tel.. und so weiter.

Da die Formel für mein Taschenrechner viel zu lang ist (wir haben im Unterricht auch wirklich noch nie mit derart langen Formeln gerechnet), musste ich zwischendurch immer mal wieder auf die =-Taste drücken. Aber das dürfte ja eigentlich keine Auswirkungen auf das Endergebnis haben, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das nicht, aber wenn Du wirklich "und so weiter" gerechnet hast, dann hat das schon Auswirkungen.
Für -9 beispielsweise gibt es ja nur eine Möglichkeit, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür und das Produkt somit

Ich habe zwischenzeitlich selber noch einmal nachgerechnet und kann das Ergebnis von klauss bestätigen: Es handelt sich um ein faires Spiel.
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