Log-Umformungen

31.03.2019, 18:28

MaxTrax

Log-Umformungen

Hallo miteinander

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
$\begin{eqnarray*} 10^{2 log(x)} = 25 \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass das Endresultat $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{log(10)}} \end{eqnarray*}$ ist, aber wie kommt man (ohne Hilfe des TR Augenzwinkern

) auf dieses Resultat?

Danke für die Hilfe! smile

31.03.2019, 18:34

G310319

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RE: Log-Umformungen
2log(x) = log(x^2)

10 und log heben sich auf: 10^logx^2 = x^2

x^2 = 25

Ich gehe davon aus, das log = log zur Basis 10 gilt.
Das passt auch zur Lösung.

log10= 1, da 10^1= 10

01.04.2019, 07:46

MaxTrax

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RE: Log-Umformungen
Ah super, vielen Dank! smile

Noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} log_6(\sqrt{x}) = log_{\sqrt{6}}(2^3) \end{eqnarray*}$

Die Gleichung kann ich ja umformen in:
$\begin{eqnarray*} \frac{log(\sqrt{x})}{log(6)} = \frac{log(2^3)}{log(\sqrt{6})} \end{eqnarray*}$

Doch wie darf ich hier weitermachen? Ziel ist ja, ein gemeinsamer Nenner zu finden...

01.04.2019, 07:50

Bürgi

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RE: Log-Umformungen
Guten Morgen,

benutze $\begin{eqnarray*} \log(\sqrt{6}) = \frac12 \cdot \log(6) \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \log(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ entsprechend.

01.04.2019, 07:54

HAL 9000

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(Zu spät)

01.04.2019, 09:18

Guppi12

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Ergänzend: ich finde nicht, dass es zur Lösung passt, dass der Logarithmus zur Basis 10 gemeint ist, denn dann würde die Lösung wohl eher mit 5 angegeben werden, als mit diesem Ausdruck.

Die angegebene Lösung ist hingegen richtig, egal welcher Logarithmus gemeint ist.

01.04.2019, 16:10

HAL 9000

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Das bekräftigt wieder mal meine Ansicht, besser niemals mit bloßem $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ zu operieren, macht nur Ärger:

Die einen sehen darin fest $\begin{eqnarray*} \lg \end{eqnarray*}$ , die anderen $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ (z.B. viele Programmiersprachen) und dann wieder welche $\begin{eqnarray*} \log_b \end{eqnarray*}$ mit einer festen, aber nicht weiter spezifierten Basis $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb{R}_+\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ .

Dieser letzten, und hier auch plausiblen Ansicht ist Guppi12. Wäre also klarer und unmissverständlicher gewesen, die Gleichung als $\begin{eqnarray*} 10^{\log_b(x)} = 25 \end{eqnarray*}$ zu formulieren, und die hat dann die Lösung $\begin{eqnarray*} x = 5^{\frac{1}{\log_b(10)}} \end{eqnarray*}$ .

02.04.2019, 22:14

MaxTrax

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Hm ich stecke irgendwie noch fest, und zwar hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{log(x)}{2 log(6)} = \frac{16 log(2)}{log(6)} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das nun weiter vereinfachen?

(PS: Ich bin nicht sicher, ob ich bis jetzt alles korrekt umgeformt habe :/ )

02.04.2019, 22:56

mYthos

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Korrekt umgeformt hast du (leider) nicht!
Ein böser Fehler ist der: $\begin{eqnarray*} 2 \log 8 = 16 \log 2 \end{eqnarray*}$ (!!), das stimmt also nicht.

Sieh zu, dass du bei beiden Brüchen $\begin{eqnarray*} 2 \log 6 \end{eqnarray*}$ im Nenner hast:

Die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \frac{\log 8}{\frac 1 2 \log 6} \end{eqnarray*}$ kannst du umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{4 \log 8}{2 \log 6} \end{eqnarray*}$ , dann kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{\log x}{2 \log 6} = \frac{4 \log 8}{2 \log 6} \end{eqnarray*}$

Kommst du nun weiter voran?

mY+

03.04.2019, 06:55

MaxTrax

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Yesss, x wird dann 8^4 sein.

Herzlichen Dank für die Aufklärung! smile

03.04.2019, 07:36

MaxTrax

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Doch noch eine weitere Frage:

$\begin{eqnarray*} log_a(x+4) - log_{\sqrt{a}} (x+ \frac{15}{4} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist hier die Vereinfachung $\begin{eqnarray*} log(x+4) = 2 log (x + \frac{15}{4} ) \end{eqnarray*}$ korrekt?

Wie bringe ich das nun noch zum Abschluss?

Danke für die Hilfe! smile

03.04.2019, 09:57

HAL 9000

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Basierend auf $\begin{eqnarray*} \log_{\sqrt{a}}(y) = \frac{\log_a(y)}{\log_a(\sqrt{a}} = \frac{\log_a(y)}{\frac{1}{2}} = 2\log_a(y) \end{eqnarray*}$ ist das richtig, ja. Aber schreib besser die Log-Basis mit dran, auch wenn es lästig scheint.

$\begin{eqnarray*} \log_a(x+4) = 2\log_a\left(x+\frac{15}{4}\right) \end{eqnarray*}$ kann sofort delogarithmiert werden zu $\begin{eqnarray*} x+4 = \left(x+\frac{15}{4}\right)^2 \end{eqnarray*}$ , das ist dann ausmultipliziert eine quadratische Gleichung. Deren Lösungen sollte man allerdings einer Probe unterziehen, die Logarithmenargumente müssen schließlich stets positiv sein.

03.04.2019, 11:09

MaxTrax

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Tausend Dank für diesen wertvollen Hinweis!

Ich habe noch eine letzte Frage zu $\begin{eqnarray*} log_2(x^2 +2x +8)=2+2log_4(x+2) \end{eqnarray*}$

Links kann man ja faktorisieren zu (x(x+2)+8).
Aber wie weiter?

03.04.2019, 12:18

HAL 9000

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Am besten bringt man alles einheitlich auf Logarithmenbasis 2. Das heißt rechts dann u.a. $\begin{eqnarray*} \log_4(x+2) = \frac{\log_2(x+2)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x+2)}{2} \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \log_2(x^2+2x+8) = {\color{red}2} + \log_2(x+2) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt delogarithmieren (d.h. $\begin{eqnarray*} 2^{(\ldots)} \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+8 = 2^{{\color{red}2}}\cdot (x+2) \end{eqnarray*}$

Und wieder eine quadratische Gleichung...

03.04.2019, 15:34

MaxTrax

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Danke HAL 9000! smile

Zu deiner vorletzten Antwort (jene wo du geschrieben hast, dass das Ergebnis positiv sein muss): Bei mir ergeben beide mögliche x negative Werte. Das heisst die ursprüngliche Gleichung hat keine Lösung, oder?

03.04.2019, 15:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaxTrax
Bei mir ergeben beide mögliche x negative Werte.

Ja und? Es muss doch auch nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positiv sein, sondern die Argumente der Logarithmen! Und das sind hier $\begin{eqnarray*} x+4 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x+\frac{15}{4} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich richtig nachgerechnet habe, dann eliminiert die Probe auf diese Weise nur eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung, die andere bleibt bestehen.

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