Von Durchschnittsänderung auf momentane Änderung schließen |
| 01.04.2019, 18:36 | Tograinz | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Von Durchschnittsänderung auf momentane Änderung schließen Gibt es eine Möglichkeit, wenn wir die durchschnittlichen Änderung einer quadratischen Funktion kennen (Also wir wissen f(x+1)-f(x), für alle x), auf die momentane Änderung df/dx zu schließen? Meine Ideen: Folgendes Muster: 0,0,1,5,14,30,55,91... (beginnend bei n=0) Die durchschnittliche Änderung von n zu n+1 ist n^2 (bspweise von 2 zu 3 ist die Änderung 4). Gibt es einen Weg auf die momentane Änderung zu schließen und per Integration dann auf die Formel des Musters zu kommen? Wenn die Änderung linear ist geht das. Bsp.: 0,0,2,6,12,20 Durchschnittliche Änderung ist 2n (A steht für Anzahl). Da die Änderung linear ist, wissen wir, dass dA=an+b ist. (dA(n)+dA(n+1))/2 ist die durchschnittliche Änderung, also die von n zu n+1. In dem Fall kriegen wir durchs Aufstellen von 2 solcher Gleichungen die 2 unbekannten Parameter raus und kommen auf dA(n)=2n-1, was integriert A=n^2-n bringt, was stimmt. Doch ist bei erstem Fall die Änderung nicht linear, sondern quadratisch, weshalb wir mit dem Verfahren für die ersten Werte eine gute Annäherung kriegen, die aber immer ungenauer wird. |
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| 02.04.2019, 21:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Muster beschreibt NICHT eine quadratische Funktion, sondern eine vom Grad 3. Dies kann mittels der Methode der Differenzenfolgen erklärt werden (man bildet diese so lange, bis sie konstant werden): Folge: 0, 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91 1. Differenzen: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, .. 2. Differenzen: 1, 3, 5, 7, 9, 11, .. 3. Differenzen: 2, 2, 2, 2, 2, ... Somit ist die 3. Ableitung der Funktion gleich 2 und die Funktion allgemein Mittels der gegebenen Wertepaare werden die Parameter (Konstanten) a, b, c berechnet. Es ist c = 0, b = -1/2, c = 1/6 und damit mY+ |
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