Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion

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sadnessDestroyer Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion
Meine Frage:
Sei f: R -> R stetig und c Element von f(R). (R Reelle Zahlen)

wie kann ich am besten zeigen, dass die Menge {x Element R: f(x) <= c} abgeschlossen ist?

Lg

Meine Ideen:
In der Vorlesung hatten wir schon die Definition von Epsilon-Kugeln.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Für ist das Komplement .

Offenheit heißt, dass es für jedes ein geben muss, dass für jedes mit ebenfalls gilt - das musst du nun versuchen zu beweisen. Und dabei hilft die Definition der Stetigkeit.
 
 
DestinyBlack Auf diesen Beitrag antworten »
epsylon- delta
Ich hab mir die Aufgabe auch mal angeschaut und überlegt, ob dass ganze mit dem epsylon- delta Kriterium machbar ist.
Ich nehme mir ein x_0 aus dem Komplement.

Wenn ich nun Epsylon = f(x_0) - c wähle, dann folgt mit stetigkeit , dass es ein delta gibt mit
|x-x_0|<delta daraus folgt nun, dass |f(x)-f(x_0)| < f(x_0) - c sein muss.

Hier ist mir jetzt logisch klar, dass f(x) > c sein muss, aber wie zeige ich das hier?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: epsylon- delta
Zitat:
Original von DestinyBlack
Ich nehme mir ein x_0 aus dem Komplement.

Wenn ich nun Epsylon = f(x_0) - c wähle, dann folgt mit stetigkeit , dass es ein delta gibt mit
|x-x_0|<delta daraus folgt nun, dass |f(x)-f(x_0)| < f(x_0) - c sein muss.

Gut bis hierhin, aber warum machst du nicht weiter? Diese letzte Betragsungleichung kann man ja aufdröseln zu





.

Die rechte Ungleichung interessiert uns nicht weiter - die linke schon: Denn das ist letztendlich das, was wir wollen, nämlich .

D.h., für jedes gibt es auch eine -Umgebung von , die komplett zu gehört - das ist die Definition von Offenheit!
DestinyBlack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: epsylon- delta
Danke für die Hilfe, jetzt hab ich es verstanden
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