Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion |
02.04.2019, 14:40 | sadnessDestroyer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion Sei f: R -> R stetig und c Element von f(R). (R Reelle Zahlen) wie kann ich am besten zeigen, dass die Menge {x Element R: f(x) <= c} abgeschlossen ist? Lg Meine Ideen: In der Vorlesung hatten wir schon die Definition von Epsilon-Kugeln. |
||||
02.04.2019, 16:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Für ist das Komplement . Offenheit heißt, dass es für jedes ein geben muss, dass für jedes mit ebenfalls gilt - das musst du nun versuchen zu beweisen. Und dabei hilft die Definition der Stetigkeit. |
||||
03.04.2019, 19:14 | DestinyBlack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
epsylon- delta Ich hab mir die Aufgabe auch mal angeschaut und überlegt, ob dass ganze mit dem epsylon- delta Kriterium machbar ist. Ich nehme mir ein x_0 aus dem Komplement. Wenn ich nun Epsylon = f(x_0) - c wähle, dann folgt mit stetigkeit , dass es ein delta gibt mit |x-x_0|<delta daraus folgt nun, dass |f(x)-f(x_0)| < f(x_0) - c sein muss. Hier ist mir jetzt logisch klar, dass f(x) > c sein muss, aber wie zeige ich das hier? |
||||
04.04.2019, 10:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: epsylon- delta
Gut bis hierhin, aber warum machst du nicht weiter? Diese letzte Betragsungleichung kann man ja aufdröseln zu . Die rechte Ungleichung interessiert uns nicht weiter - die linke schon: Denn das ist letztendlich das, was wir wollen, nämlich . D.h., für jedes gibt es auch eine -Umgebung von , die komplett zu gehört - das ist die Definition von Offenheit! |
||||
04.04.2019, 15:29 | DestinyBlack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: epsylon- delta Danke für die Hilfe, jetzt hab ich es verstanden |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |