Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion

02.04.2019, 12:40

sadnessDestroyer

Abgeschlossenheit zeigen bei der Bildmenge einer stetigen Funktion

Meine Frage:
Sei f: R -> R stetig und c Element von f(R). (R Reelle Zahlen)

wie kann ich am besten zeigen, dass die Menge {x Element R: f(x) <= c} abgeschlossen ist?

Lg

Meine Ideen:
In der Vorlesung hatten wir schon die Definition von Epsilon-Kugeln.

02.04.2019, 14:13

HAL 9000

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Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Für $\begin{eqnarray*} M = \left\{x\in\mathbb{R}:\; f(x)\leq c\right\} \end{eqnarray*}$ ist das Komplement $\begin{eqnarray*} M^c = \mathbb{R}\setminus M = \left\{x\in\mathbb{R}:\; f(x)>c\right\} \end{eqnarray*}$ .

Offenheit heißt, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x_0\in M^c \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ geben muss, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} x\in M^c \end{eqnarray*}$ gilt - das musst du nun versuchen zu beweisen. Und dabei hilft die Definition der Stetigkeit.

03.04.2019, 17:14

DestinyBlack

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epsylon- delta
Ich hab mir die Aufgabe auch mal angeschaut und überlegt, ob dass ganze mit dem epsylon- delta Kriterium machbar ist.
Ich nehme mir ein x_0 aus dem Komplement.

Wenn ich nun Epsylon = f(x_0) - c wähle, dann folgt mit stetigkeit , dass es ein delta gibt mit
|x-x_0|<delta daraus folgt nun, dass |f(x)-f(x_0)| < f(x_0) - c sein muss.

Hier ist mir jetzt logisch klar, dass f(x) > c sein muss, aber wie zeige ich das hier?

04.04.2019, 08:02

HAL 9000

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RE: epsylon- delta

Zitat:

Original von DestinyBlack
Ich nehme mir ein x_0 aus dem Komplement.

Wenn ich nun Epsylon = f(x_0) - c wähle, dann folgt mit stetigkeit , dass es ein delta gibt mit
|x-x_0|<delta daraus folgt nun, dass |f(x)-f(x_0)| < f(x_0) - c sein muss.

Gut bis hierhin, aber warum machst du nicht weiter? Diese letzte Betragsungleichung kann man ja aufdröseln zu

$\begin{eqnarray*} -(f(x_0) - c) < f(x)-f(x_0) < f(x_0) - c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-f(x_0) < f(x)-f(x_0) < f(x_0) - c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c < f(x) < 2f(x_0) - c \end{eqnarray*}$ .

Die rechte Ungleichung interessiert uns nicht weiter - die linke schon: Denn das ist letztendlich das, was wir wollen, nämlich $\begin{eqnarray*} x\in M^c \end{eqnarray*}$ .

D.h., für jedes $\begin{eqnarray*} x_0\in M^c \end{eqnarray*}$ gibt es auch eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , die komplett zu $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ gehört - das ist die Definition von Offenheit!

04.04.2019, 13:29

DestinyBlack

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RE: epsylon- delta
Danke für die Hilfe, jetzt hab ich es verstanden

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