Erzeugendensystem, linear unabhängig, Basis

03.04.2019, 12:02

Kathreena

Erzeugendensystem, linear unabhängig, Basis

Sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} M=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

a.) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, indem Sie $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} \in V \end{eqnarray*}$ als Linear-kombination von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ darstellen.

b.) Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ?

c.) Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee:

a.)
Stimmt es, wenn ich das als Gleichungssystem schreibe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & | & v_1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & | & v_2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & | & v_3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & | & v_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann in Zeilenstufenform bringe, bekomm ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{v_2}{4} + \frac{3v_3}{4} + \frac{v_4}{2} \\ \frac{v_2-v_3}{4} \\ \frac{4v_3+2v_4-v_2+2v_1}{4} \\ \frac{v_3+2v_4-v_2-2v_1}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\gamma , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\delta \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = v \in V \end{eqnarray*}$

03.04.2019, 12:42

Elvis

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Du musst nicht fragen, ob das stimmt. Du kannst die Variablen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in die letzte Gleichung einsetzen, wenn dabei die rechte Seite $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ herauskommt, dann ist die Probe gelungen, sonst nicht. Der Ansatz ist jedenfalls richtig, wenn das Ergebnis nicht stimmen sollte, ist irgendwo ein Rechenfehler.

03.04.2019, 12:51

klarsoweit

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RE: Erzeugendessystem, linear unabhängig, Basis
Hm. Wenn ich mal für die 1. Komponente $\begin{eqnarray*} \alpha - \beta + \gamma - \delta \end{eqnarray*}$ rechne, erhalte ich $\begin{eqnarray*} v_1 + \frac 7 4 v_3 + \frac 1 2 v_4 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Wenn du den Begriff der inversen Matrix kennst, würde ich diese bilden.

03.04.2019, 13:11

mYthos

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Die Lösungen stimmen nicht, man kann sich da leicht verrechnen!*
Dass die Matrix linear unabhängig ist, kann mit der entsprechenden Determinante überprüft werden, diese hat den Wert -16 (also ungleich Null).

(*) Ich kann diese angeben, wenn du das dann zur Kontrolle benötigst!

mY+

03.04.2019, 13:49

Kathreena

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Habs nun nochmal gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2v_1+v_2+v_3}{4} \\ \frac{v_2-v_3}{4} \\ \frac{-v_2-v_3+2v_4}{4} \\ \frac{-2v_1-v_2+v_3+2v_4}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit komm ich auf
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\gamma , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\delta \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_1+v_2-v_4 \\ v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber es sollte doch eigentlich ein Erzeugendessystem sein ? Fehler in der Angabe ?
Ich glaub nich das ich mich verrechnet habe, weil ichs nun zusätzlich mit den Taschenrechner kontrolliert habe.

Inverse darf ich noch nicht verwenden.

b.) Determinanten darf ich auch noch nich verwenden.

Denke das muss ich so zeigen:
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\gamma , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\delta \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und darf es nur eine Lösung geben, nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = \delta = 0 \end{eqnarray*}$

c.) Dafür müsst ich erst das Erzeugendensystem richtig haben.

03.04.2019, 13:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Aber es sollte doch eigentlich ein Erzeugendessystem sein ? Fehler in der Angabe ?

Eher wohl Fehler in deiner Rechnung.

Zitat:

Original von Kathreena
Denke das muss ich so zeigen:
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\gamma , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix} +\delta \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und darf es nur eine Lösung geben, nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = \delta = 0 \end{eqnarray*}$

Ja.

03.04.2019, 14:14

Kathreena

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Ja sorry

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4} \\ \frac{-v_1+v_2-v_3+v_4}{4} \\ \frac{v_1-v_2-v_3+v_4}{4} \\ \frac{-v_1-v_2+v_3+v_4}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist c.)

Die gegebenen Vektoren von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig und $\begin{eqnarray*} M \in span(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?

03.04.2019, 14:21

mYthos

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Ja, so stimmt es.
Diese Lösungen habe ich auch.

Hast du bei der LK nach den Multiplikatoren aufgelöst (nur triviale Lösung!) oder die Determinante berechnet?

03.04.2019, 15:22

Kathreena

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Weiß nicht was LK bedeutet, die Determinante hab ich nirgends berechnet. Immer nur nach Alpha Beta ... gelöst.

Determinanten hatten wir noch nicht.

03.04.2019, 16:39

mYthos

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LK ist Linearkombination.

Mit Determinante wäre das halt sehr elegant! Ohne Determinante: Sieh dir bitte den Beitrag von klarsoweit an!

Dann ist eben dieses lGS (lineares Gleichungssystem) zu lösen. Im Falle der linearen Unabhängigkeit sind alle Lösungen ausschließlich Null (homogenes, unabhängiges Gleichungssystem mit keiner nichttrivialen Lösung!).

Dann gibt es zwischen diesen 4 Vektoren keine LK untereinander, d. h. es kann keiner dieser 4 Vektoren als LK der anderen drei geschrieben werden.
In diesem Fall sind die 4 Vektoren linear unabhängig.

mY+

04.04.2019, 11:28

Kathreena

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Vielen Dank.

Stimmt es wenn man sagt, das die Basis von V die Vektoren sind, die das minimale erzeugende System bilden.

04.04.2019, 11:35

Elvis

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Nein das stimmt nicht. Ein Vektorraum, der vom Nullraum verschieden ist, hat nicht nur eine Basis. Deshalb kann man nicht von "der" Basis reden. "Die" Basis impliziert die Eindeutigkeit, "eine" Basis impliziert, dass ein Vektorraum eine oder mehrere Basen hat. Richtig ist: Eine Basis von V ist ein minimales Erzeugendensystem von V. Richtig ist: Jede Basis von V ist ein minimales Erzeugendensystem von V. Richtig ist auch die Umkehrung: Ein minimales Erzeugendensystem von V ist eine Basis von V. Richtig ist auch: Jedes minimale Erzeugendensystem von V ist eine Basis von V.

04.04.2019, 14:19

Kathreena

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Danke

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