Erwartungswert des Produktes |
03.04.2019, 14:52 | daLoisl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erwartungswert des Produktes unter der Voraussetzung wollte für die Kovarianz zeigen: Dafür verwendet man natürlich die Linearität des Erwartungswertes, aber als Voraussetzung dafür benötigt man wiederum die Existenz von . Ich dachte zuerst, das würde aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgen. Aber dann habe ich mir den Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung angesehen, und dort wurde ebenfalls dieselbe Linearität verwendet. Ich hätte also einen Zirkelschluss. Folgende Frage: Kann man die Existenz von aus obigen Voraussetzungen ohne die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zeigen? Oder kann man die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ohne die Existenz von zeigen? Danke im Voraus daLoisl |
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03.04.2019, 15:50 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, wollen wir mal sehen, was dein Problem ist: Du betrachtest den Beweis der CSU, der geht ja normalerweise so: Ausgehend von folgert man , speziell auch für sowie , das ergibt dann mittelbar , und der Beweis ist fertig. Du ziehst jetzt gleich den ersten Schritt hin zu (*) in Zweifel, weil man diese Zerlegung nicht machen darf, solange die Existenz von nicht geklärt ist - ist es das, was du meinst? Da ist was dran, aber dieses Problem lässt sich anderweitig lösen. Die Existenz von kann man z.B. auch so sehen: Für nichtnegative Zufallsgrößen ist immer zumindest im uneigentlichen Sinne erklärt (d.h. ggfs. ), und es gilt auch für die Summe zweier solcher uneigentlich integrierbarer nichtnegativer Zufallsgrößen . Damit bekommen wir Setzt man nun wie bei dir voraus, so folgt über diese Gleichheit auch und damit auch die Existenz von . Damit ist (*) erlaubt und folglich auch der obige Beweis "sauber". |
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03.04.2019, 23:02 | daLoisl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort. Ja, genau so war es gemeint. Beim Lesen deiner Lösung ist mir eine alternative eingefallen, die vielleicht ein bisschen schneller ist: existiert genau dann als endliche Zahl, wenn gilt. Aus den binomischen Formeln erhält man und damit Funktioniert das so, oder habe ich etwas übersehen? |
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03.04.2019, 23:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, ich hab wohl heute meinen "umständlichen" Tag. |
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