Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen auf Teilmengen

04.04.2019, 22:44	danooh203	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen auf Teilmengen Guten Abend, folgende Aufgabe beschäftigt mich: Sei $\begin{eqnarray} (f_n)_n \end{eqnarray}$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} X= X_1 \cup X_2 \end{eqnarray}$ für zwei Teilmengen, $\begin{eqnarray} f_{n\|X_1} \end{eqnarray}$ strebt gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f_{\|X_1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{n\|X_2} \end{eqnarray}$ strebt gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f_{\|X_2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann auch $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ strebt für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ Wir haben gleichmäßige Konvergenz folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ strebt gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ , falls es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} \| f_n(x) - f(x) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Leider hilft mir das nicht weiter, da ich keinen Ansatz habe, die Teilmengen ins Spiel zu bringen
05.04.2019, 10:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ziemlich einfach: Die beiden Gleichmäßigkeitsbetrachtungen für die Teilmengen liefern für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ zunächst getrennt ein solches $\begin{eqnarray} N_1 \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ ) sowie $\begin{eqnarray} N_2 \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ). Wenn du daraus nun $\begin{eqnarray} N:=\max(N_1,N_2) \end{eqnarray}$ bildest, dann gilt $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und auch alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ , also genau das, was du willst. Das ganze klappt auch, wenn statt in zwei in eine andere endliche Anzahl von Teilmengen zerlegt wird. Problematisch wird es erst, wenn die Anzahl von Teilmengen unendlich ist - dann versagt der Beweis, was auch nicht weiter verwunderlich ist, denn in diesem Fall ist die Satzaussage i.a. falsch.

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