Menge - Beweis mit Induktion

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Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge - Beweis mit Induktion
Hallo,
ich verstehe folgende Menge nicht.
Liegt das Intervall J, dann nicht in der Vereinigung der Intervalle I ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a,b,c,d sind beliebig, deshalb kann über die gegenseitige Lage von I und J nichts ausgesagt werden. Unabhängig davon soll gezeigt werden, dass I\J eine endliche Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle ist.
 
 
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis nuss ich mir noch überlegen. Davor ist mein Problem die Bedeutung von zu verstehen. Was soll das bedeuten?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet,
Zitat:
Original von Elvis
dass I\J eine endliche Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle ist.


Induktionsanfang: Für n=1 ist I\J leer oder ein Teilintervall von I oder zwei Teilintervalle von I. (Mache eine Skizze)
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, das I\J fungiert ja als mein A in der Defintion.Dann ist I\J die Vereinigung von disjunkten Intervallen K.

Wie kommst du dann darauf?
ein Teilintervall von I oder zwei Teilintervalle von I.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Male 3 Bildchen.
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du einfach I\J liegt komplett in I oder liegt zwischen 2 Intervallen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Meinung, ich mache mir ein vollständiges Bild des eindimensionalen Falles.

Sei



















Tipp: Bei Fleißaufgaben muss man fleißig sein. Lehrer
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Elvissmile
Jetzt verstehe ich es.
Mit J nimmt man ja immer einen gewissen Teil weg, sodass von I alles , ein Teil oder nichts übrig bleibt.
Ich war verwirrt bezüglich der endlichen Vereinigung:

Aber es kann ja sein, dass man mit J das Intervall I so aufschneidet, dass man die Vereinigung der beiden übrig gebliebenen Teilintervalle benötigt, um I\J darzustellen, wie es bei dir hier der Fall war:



Jetzt verstehe ich den Fall n=1.
Reicht das dann schon als Beweis, die 3 Möglichkeiten anzugeben.
Was müsste ich mir mein Induktionschritt überlegen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In höheren Dimensionen kann man aus einem "Hyperquader der n. Dimension" Intervalle, Rechtecke, Quader und "Hyperquader" der 4. bis n. Dimension aussschneiden. Big Laugh Da bleibt nur der Induktionsschritt von n auf n+1. Bildchen helfen irgendwann nicht weiter.
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, aber wie kann ich den Schritt von n nach n+1 mathematisch fassen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von mir als Neueinsteiger im Thread eine "technische" Anmerkung:

Es ist ja nur echt was zu beweisen im Fall sowie .

Ein erster Schritt wäre zu erkennen mit .

ist entweder leer (da ist dann nichts zu beweisen) oder aber auch wieder ein Intervall mit , diesmal aber mit den zusätzlich benutzbaren Eigenschaften und .

Diese Vorüberlegung hilft, die von Elvis für den Fall n=1 aufgelistete Fallzahl drastisch zu reduzieren, auch und gerade bei allgemeiner Dimension . Augenzwinkern
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe leider nicht HAL, warum J einen Schnitt mit I haben sollte. Es kann doch sein, dass
J ausßerhalb von I liegt.
Edit:
Sei



Dort wäre dein . Dann stimmt das schon sosmile

Aber inwiefern hilft mir das jetzt, den Induktionschritt zu beweisen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Fragen erledigen sich, wenn man einfach mal gründlich liest:

Zitat:
Original von Sebastian35
Ich verstehe leider nicht HAL, warum J einen Schnitt mit I haben sollte. Es kann doch sein, dass
J ausßerhalb von I liegt.

Zitat:
Original von HAL 9000
ist entweder leer (da ist dann nichts zu beweisen) oder [...]


Und hier erneut:

Zitat:
Original von Sebastian35
Aber inwiefern hilft mir das jetzt, den Induktionschritt zu beweisen.

Zitat:
Original von HAL 9000
diesmal aber mit den zusätzlich benutzbaren Eigenschaften und .

Es war lediglich ein Vorschlag, die Fülle der zu betrachteten Fälle zu reduzieren - du musst ihn ja nicht nutzen. unglücklich
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme doch an, dass für Dimension n gilt, dass I\J die Vereinigung von disjunkten Intervallen aus dem ist.
Mit welcher Idee schließe ich denn, dass es auch für n+1 gilt.
Das verstehe ich nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit meiner Empfehlung oben wollen wir nun zerlegen: Aus folgt ja und daher das schon erwähnte und . Schreiben wir die Komponenten auf, d.h. usw. bis hin zu .

Definieren wir nun






so haben wir die disjunkte Vereinigung , mach dir das am besten an Dimension n=2 oder n=3 mal klar.

Nun liegt vollständig im "mittleren Intervall , d.h. es ist

.

Den mittleren Term analysiert kann man die letzte Komponente abtrennen gemäß

,

wobei aus durch Wegfall der letzten, -ten Komponente entsteht. Nun wird auf die Induktionsvoraussetzung angewandt, was letztlich nach erneutem Zusammenbau über (1)(2) den Beweis komplettiert.


P.S.: Diese Beweisskizze ist natürlich für einen Induktionsschritt angelegt. Wenn du lieber magst, kannst du ja die Indizes anpassen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Sebastian35
Versuche, den Schritt von n=1 auf n=2 und den Schritt von n=2 auf n=3 zu machen, wenn deine Vorstellungskraft dazu ausreicht. Wenn du das nicht kannst, ist die Aufgabe sowieso zu schwierig für dich. Wenn du die beiden Schritte vollzogen hast, ist der allgemeine Induktionsschritt von n auf n+1 reine Formsache bzw. eine formale Abstraktion der konkreten Schritte. Wie ich schon sagte: "Bei Fleißaufgaben muss man fleißig sein."
Sebastian35 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Danksmile
Sorry für die späte Antwort.
Ich habe es länger überdacht.
Danke euch beidensmile smile smile smile
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