Äquivalenzrelation beweisen

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SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze schon seit Stunden an der Aufgabe, aber komme leider einfach nicht weiter:

Betrachten Sie die Relation ~ auf den ganzen Zahlen Z, welche für a,b Elemente in Z wie folgt gegeben ist:

a~b <-> Es existiert ein Element m aus Z für die gilt a-b = 3m
Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität beweisen muss.

Für die Reflexivität bedeutet es ja a~a, aber heißt das dann a-a =3a?

Es wäre super, wenn mir jemand einen Hinweis und einen Ansatz geben könnte, weil diese Form für mich ganz neu ist und ich überhaupt nicht weiterkomme.
Ich danke euch schonmal smile

Liebe Grüße
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Richtig ist
a~a <-> Es existiert ein Element m aus Z für die gilt a-a = 3m
 
 
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
Okey, das klingt für mich auch logischer, aber muss ich das Ganze noch umformen oder folgt daraus direkt die Reflexivität?
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Du musst begründen, dass es ein solches m gibt.
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
da a ein Element in Z ist und folglich das Ergebnis auch in Z und m ein Element in Z ist gilt die Aussage? verwirrt
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Nein. Ganz ähnlich könnte man sonst argumentieren, dass 3-2=3m für geeignetes ganzzahliges m ist. Das ist aber offenbar falsch. Schau dir die llinke Seite der Gleichung an, dann wird dir bestimmt ein passendes m einfallen.
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
Naja 2-2 = 3m würde bedeuten, dass m =0 sein muss, damit die Gleichung stimmt. Da a-a immer 0 ist folgt daraus, dass m immer 0 sein muss oder?
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
so ist es. Freude
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
Vielen lieben Dank für die Geduld smile

Jetzt muss ich noch die Symmetrie und Transitivität beweisen. Symmetrie ist ja formal x~y -->y~x
und Transitivität x~y und y~z --> x~z

In meinem Fall wäre symmetrisch a~b --> b~a <--> es existiert ein m Element in Z für das gilt a-b = 3m und b-a = 3m? wenn a=14 und b=2 ergibt sich 14-2 = 3*4 sodass die Gleichung stimmt und für 2-14 = 3*(-4) sodass die Gleichung stimmt oder?

Bei der Transitivität hänge ich, weil ich kein z habe oder ist m hierbei meine Variable?
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Das ist die richtige Idee für die Symmetrie. Jetzt musst du nur dein Beispiel auf den allgemeinen Fall übertragen

Zitat:
Bei der Transitivität hänge ich, weil ich kein z habe oder ist m hierbei meine Variable?

Das verstehe ich jetzt nicht. Weiter oben hast du doch auch ohne viel Federlesens x und y durch a und b ersetzt (was man nicht tun muss, aber das ist zweitrangig). Also warum dann nicht das z durch ein c ersetzen?
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation beweisen
okey, das funktioniert ja nur, wenn a-b und b-a durch 3 teilbar sind, soweit ich das jetzt richtig habe, weil sonst 3m nicht klappt oder? Ist das dann allgemein genug?

also a~b &#8743; b~c -->a~c = 3m?

Tut mir wirklich leid für die vielen Fragen, aber ich habe wirklich ein Brett vor dem Kopf traurig
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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Genau das ist die Bedeutung dieser Relation Freude
a und b sind genau dann äquivalent im Sinne dieser Relation, wenn die Differenz a-b durch 3 teilbar ist.

Formal könnte man die Symmetrie folgendermaßen zeigen: Aus folgt nach Definition, dass es eine ganze Zahl m gibt mit a-b=3m. Dann ist aber b-a=3(-m). Weil auch -m eine ganze Zahl ist, bedeutet das nach Definition der Relation, dass auch ist.

Nach dem Muster kannst du jetzt die Transitivität zeigen. Aus folgt a-b=3m, aus folgt b-c=3k mit ganzen Zahlen m,k. Damit ist jetzt eine Aussage über a-c machbar
SonPäd25 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mir wirklich sehr geholfen und warst sehr nachsichtig mit mir, danke dafür! smile
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Freut mich, wenn ich helfen konnte smile
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