Wann Kettenregel - Verständnisproblem

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JonasB Auf diesen Beitrag antworten »
Wann Kettenregel - Verständnisproblem
Hallo,

wann muß man die Kettenregel anwenden?
Nehmen wir zum Beispiel zwei Funktionen
und . Die kann man direkt ableiten, hingegen ist eine Verkettung dieser Funktionen,
also brauch ich die Kettenregel - soweit ist es mir klar.

Aber: kann ich doch auch als zwei Funktionen auffassen: und , die verkettet wurden, also
Also wieso darf ich f(x) ohne Kettenregel machen aber h(x) nur mit Kettenregel bzw. ist f(x) überhaupt eine echte Verkettung oder muss für Verkettung ein Produkt vorliegen?

Wenn f(x) ebenfalls ein echte verkettete Funktion ist, dann müsste bei der Ableitung doch mit und ohne Kettenregel das gleiche rauskommen, tut es aber nicht:
Ohne Kettenregel:
richtig

Mit Kettenregel:
äußere Funktion: . Also
innere Funktion: . Also
also ist die Ableitung insgesamt aber das ist falsch!

Wo liegt der Denkfehler?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die äußere Funktion hast Du zuerst richtig bestimmt:d(x)=x-3
Beim Ableiten bist Du dann von der falschen Funktion d(x)=2x-3 ausgegangen.
JonasB Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Dann nochmal:

Ohne Kettenregel:
richtig.

Mit Kettenregel:
äußere Funktion: . Also
innere Funktion: . Also
also ist die Ableitung insgesamt auch richtig.

Die Kettenregel darf ich also bei egal welchen verketteten Funktionen immer einsetzen, muss es aber manchmal nicht. Wann genau kann ich sie mir sparen? Nur wenn die äußere Funktion eine Summe/Differenz ist, oder gibt es noch andere Fälle?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JonasB
Die Kettenregel darf ich also bei egal welchen verketteten Funktionen immer einsetzen, muss es aber manchmal nicht.

So würde ich das nicht formulieren: Wenn du die Funktion entsprechend ihrer Termstruktur ableitest, musst du die Kettenregel immer anwenden, es gibt da keine Ausnahmen.

Natürlich kannst du die Funktion vorher vereinfachen und dann gemäß einer vielleicht entstandenen einfacheren Termstruktur ableiten, das bleibt dir unbenommen - Beispiel:

Du kannst per Kettenregel ableiten. Du kannst das aber auch zu vereinfachen und dann ableiten, was natürlich einfacher ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein simples Beispiel zur Illustration:



Du kannst als Produkt auffassen: . Dann leitest du nach der Produktregel ab:



Oder du faßt als Verkettung mit als äußerer und als innerer Funktion auf. Dann leitest du nach der Kettenregel ab:



Nun ja - das war doch jetzt wirklich langweilig. Warum nicht einfach mal richtig reinhauen! Da gibt es doch bei den Sinus-Cosinus-Geschwistern den Onkel Pythagoras, und Professor Binomi gehört auch zur näheren Verwandtschaft:



Und da nehmen wir als äußere und als innere Funktion:



Hast du jetzt richtig Angst bekommen? Falls nein, kann ich noch weiter ausholen ... Augenzwinkern

Blödsinn bei Seite - die Termstruktur entscheidet über die Ableitungsregel. Summen werden nach der Summenregel, Produkte nach der Produktregel abgeleitet. Und Verkettungen eben nach der Kettenregel.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Falls nein, kann ich noch weiter ausholen ... Augenzwinkern

Was Leopold noch in der Hinterhand hat: Laut Additionstheorem ist , was (natürlich wieder unter Nutzung der Kettenregel) abgeleitet



ergibt, was wiederum per Additionstheoremen gleich ist, also dem obigen Ergebnis. Hups, jetzt habe ich es verraten. Big Laugh


Übrigens ein durchaus gängiges Verfahren für Produkte von Sinus- und Kosinusfunktionen, diese Umwandlung in (Summen von) einfachen Sinus- bzw. Kosinusfunktionen mit dann allerdings veränderten Argumenten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamm...inkelfunktionen

Der Sinn des ganzen ist, dass Summen i.d.R. einfacher zu integrieren sind als Produkte, z.B. vorteilhaft anwendbar bei der Berechnung von Fourierreihen, wo die Ausgangsfunktion Winkelfunktionen enthält.
 
 
JonasB Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
Also kann ich es mir immer beliebig kompliziert machen und notfalls 1 mit der Kettenregel ableiten. Aber ich will sie ja nur dann anwenden, wenn es auch wirklich Sinn macht.

Bei Summen, Produkten und Quotienten brauch ich sie nicht (und bringt sie auch nichts, weil ich wieder bei Summe, Produkt, Quotient lande), also nur bei Exponenten/Wurzeln, benannten Funktionen (trig, e, log...) - kann ich mir das noch irgendwie besser verdeutlichen?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Übung, die man da noch hinzufügen kann.

Betrachten wir die Funktion


Nach der Potenzregel gilt


Nach der Produktregel gilt


Angenommen wir wissen bereits, dass ist.
Streng genommen ist im Folgenden vorauszusetzen.
Den Zusammenhang leitet man auf beiden Seiten ab. Mittels Kettenregel ergibt sich

Umstellen bringt
.

Unter nochmaliger Heranziehung der Kettenregel ergibt sich nun
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch immer wieder wunderbar, wie die Mathematik funktioniert! Selbst wenn man in den Rücken durch die Brust direkt ins Auge schießt... Big Laugh
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