Negativer Binomialkoeffizient

07.04.2019, 06:19	flaschenbraun	Auf diesen Beitrag antworten »
Negativer Binomialkoeffizient Meine Frage: ich komme einfach nicht weiter Meine Ideen: hab viel mit der formel herum getan aber weiß einfach nicht wie ich es für negative n verallgemeinern soll
07.04.2019, 07:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition des Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray} \binom{x}{n} := \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} (x-k)\qquad () \end{eqnarray}$ funktioniert für beliebige reelle (wenn man will sogar komplexe) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , während $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nach wie vor eine natürliche Zahl ist. Im Fall $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ nimmt man für das in () stehende "leere" Produkt wie üblich den Wert 1, d.h., es ist $\begin{eqnarray} \binom{x}{0}=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Im vorliegenden Fall ist daher $\begin{eqnarray} \binom{-3}{0}=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \binom{-3}{1}=-3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \binom{-3}{2}=\frac{(-3)(-4)}{2!}= 6 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \binom{-3}{3}=\frac{(-3)(-4)(-5)}{3!}=-10 \end{eqnarray}$ ,...
07.04.2019, 12:21	flaschenbraun	Auf diesen Beitrag antworten »
hab es zwar noch immer nicht verstanden aber vielen dank für die schnelle Antwort
07.04.2019, 13:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst halt immer die Faktoren geeignet "abzählen", um etwa den Endfaktor im Produkt $\begin{eqnarray} \prod_{k=0}^{n-1} (x-k) \end{eqnarray}$ richtig zu berechnen, das ist der für Index $\begin{eqnarray} k=n-1 \end{eqnarray}$ anfallende Faktor $\begin{eqnarray} (x-(n-1))=(x-n+1) \end{eqnarray}$ . So gilt für beliebige positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \binom{-m}{n} &=& \frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} (-m-k) \stackrel{!}{=} \frac{(-1)^n}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} (m+k) = (-1)^n\frac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}\\ &=& (-1)^n\binom{m+n-1}{n} = (-1)^n\binom{m+n-1}{m-1} \end{eqnarray}$ , im Spezialfall $\begin{eqnarray} m=3 \end{eqnarray}$ ist daher $\begin{eqnarray} \binom{-3}{n} = (-1)^n\binom{n+2}{2} = (-1)^n\frac{(n+2)(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ .

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