Häufungspunkte

07.04.2019, 13:10

asfdasfd

Häufungspunkte

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} a: \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}+2 \end{eqnarray*}$ .
Bestimme alle Häufungspunkte.

Meine Ideen:
Ich bräuchte einen Tipp, da ich keine Idee habe, wie ich anfangen soll.

07.04.2019, 13:42

Finn_

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Eine Folge besitzt doch genau dann einen Häufungspunkt, wenn sie eine Teilfolge enthält, welche gegen diesen Punkt konvergiert.

Angenommen die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(x_n) \end{eqnarray*}$ ist für einen Anfangswert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} f\colon M\to M \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung auf einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann muss der Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$ erfüllen, denn es gilt
$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n\to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(\lim_{n\to \infty} x_n) = f(x). \end{eqnarray*}$

Für die Häufungspunkte kommen also nur die Lösungen der Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2x+3}+2 \end{eqnarray*}$
infrage.

07.04.2019, 13:59

Finn_

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Huch, jetzt hab ich einen Denkfehler gemacht. Der Ansatz lässt es nicht zu, eine Teilfolge zu bilden. Es kann aber sein, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ selbst konvergent ist, d.h. nur einen einzigen Häufungspunkt besitzt.

07.04.2019, 14:26

Finn_

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Also wenn man genau weiß, dass die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$ in einen Grenzzyklus der Periode $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ einmündet, dann muss $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f^m(x_n) \end{eqnarray*}$ konvergieren, wobei mit $\begin{eqnarray*} f^m \end{eqnarray*}$ die m-te iterierte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Demnach müssen die Punkte die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} x=f^m(x) \end{eqnarray*}$ erfüllen. Man spricht auch von periodischen Punkten.

Solche Punkte spielen in der komplexen Dynamik eine Rolle, siehe
Periodic point,
Periodic points of complex quadratic mappings

07.04.2019, 14:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finn_
Es kann aber sein, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ selbst konvergent ist, d.h. nur einen einzigen Häufungspunkt besitzt.

Es kann sein, und es ist im vorliegenden Fall auch so, da die vorliegende Folge monoton wachsend und beschränkt ist.

Insofern ist eine allgemeine Theorie über Häufungspunkte von solchen rekursiven Folgen $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$ sicher interessant, aber wird asfdasfd hoffentlich nicht zu sehr verwirren. Augenzwinkern

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