Zuverlässigkeit

07.04.2019, 14:46

Dopap

Zuverlässigkeit

Die JU 52 ( Tante JU ) lieb in der Luft mit mindestens dem Mitteltriebwerk oder beiden Flügeltriebwerken.
Diese oder ähnliche Wahrscheinlichkeiten lassen sich relativ einfach formulieren.

Nun aber etwas vom Typ Queen Mari2: 2 SchiffsDiesel mit 2 Generatoren, einer Gasturbine samt Hauptgenerator und zuletzt 2 elektrischen schwenkbaren Antriebspods.
Die Komponenten können teilweise variabel verschaltet werden.

An dieser Stelle ist mir noch der Hinweis auf Verwendung von Index-Zufallsgrößen in Erinnerung.

Deshalb vor einer Rechnung vorab die Frage :

unter welchen Umständen ist die Verwendung solcher Index-Zufallsgrößen unbedingt notwendig und warum?

07.04.2019, 14:54

HAL 9000

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Zwei Fragen:

1) Mit dem Smartphone verfasst? Beim Lesen von "lieb" bin ich schon ganz schön gestolpert. Augenzwinkern

2) Was verstehst du unter Index-Zufallsgrößen? Den Begriff hab ich noch nie gehört. unglücklich

07.04.2019, 17:36

Dopap

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was ist ein Smartphone? sind das die Dinger mit der Warnung vor Straßenlaternen in der Fussgängerzone ? falls der Depp die App hat Augenzwinkern

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edit:
... die JU 52 blieb in der Luft ...
... die Queen Mary 2 ...
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ich glaube die Indikatorfunktion/charakteristische Funktion war/ist gemeint, du schreibst das immer als $\begin{eqnarray*} 1_T \end{eqnarray*}$

[attach]49091[/attach]

2 dimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates.

07.04.2019, 19:04

HAL 9000

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Achso, Indikatorfunktion eines Ereignisses meinst du.

Ich sehe jetzt nicht, wie man in dem Zusammenhang von "Verwendung unbedingt notwendig" reden kann: Schließlich sind solche Indikatorfunktionen lediglich technische Hilfsmittel, irgendeinen Sachverhalt darzustellen, weiter nichts. Insofern kann man höchstens Lösungswege mit und ohne Verwendung von Indikatorfunktionen gegenüberstellen und sieht dann evtl., dass der Weg mit Indikatorfunktion besser verständlich ist - oder auch nicht. Augenzwinkern

08.04.2019, 10:39

Dopap

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gut, dann geh' ich's mal an.
In folgender Situation steht das SubSystem Generatoren - Antrieb der Queen Mary2 im Focus:

Das Schiff hat 3 Generatoren $\begin{eqnarray*} G_1, G_2,\text{ und die Reserve}\, G_3 \end{eqnarray*}$ sowie 2 Pods ( Maschinen ) $\begin{eqnarray*} M_1 , M_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1\,\text{ versorgt }\,M_1,\,\, G_2\,\text{ versorgt}\, M_2 \,\text{und}\, G_3 \,\text{kann}\, M_1 \,\text{und/oder} \,M_2 \end{eqnarray*}$ versorgen.

Das Schiff fährt wenn wenigstens eine Maschine läuft.

$\begin{eqnarray*} G_1, G_2, G_3 \end{eqnarray*}$ laufen mit Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_1, p_2, p_3 \end{eqnarray*}$ und die Maschinen mit den Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} r_1, r_2 \end{eqnarray*}$
die Betriebswahrscheinlichkeit b à la Tante JU hier ad hoc hinzuschreiben fällt mir schwer ( warum?). Deshalb der vorerst einfachere Ausdruck der Indikatorvariablen I von b des Systems:

$\begin{eqnarray*} I=1-(1-X_1Y_1)(1-X_2Y_2)(1-X_3Y_1)(1-X_3Y_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_i\,\text{= Indikatoren der Generatoren mit}\, E(X_i)=pi\,\text{ und}\, Y_i=\,\text{Indikatoren der Maschinen mit}\, E(Y_i)=r_i \end{eqnarray*}$ .
Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} b=E(I) \end{eqnarray*}$ . Der Operator E dürfte wohl wegen Abhängigkeit der Klammern nicht direkt angewandt werden. Ein vorheriges Ausmultiplizieren muss wohl sein.

08.04.2019, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Der Operator E dürfte wohl wegen Abhängigkeit der Klammern nicht direkt angewandt werden.

Du meinst in dem Sinne, dass man diesen Erwartungswert nicht als Produkt der Einzelerwartungswerte
der Klammerausdrücke rechts schreiben darf, der fehlenden Unabhängigkeit wegen? Das ist richtig.

Also ja, ausmultiplizieren und dann bei den Einzeltermen der entstehenden Summe nutzen:

a) $\begin{eqnarray*} 1_A^k=1_A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} E(1_A) = P(A) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} E(1_A1_B) = E(1_A)E(1_B) \end{eqnarray*}$ für unabhängige $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$

Falls man es auch nach Anwendung all dieser Regeln immer noch mit Strukturen $\begin{eqnarray*} 1_A1_B \end{eqnarray*}$ mit abhängigen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ zu tun hat, dann hilft vielleicht noch $\begin{eqnarray*} 1_A1B = 1_{A\cap B} \end{eqnarray*}$ (kommt hier in deinem Beispiel aber nicht vor).

Der direkte Ansatz wäre für mich, nicht mit Indikatorzufallsgrößen, sondern gleich mit den entsprechenden Ereignissen zu operieren. Die Zuverlässigkeitsabhängigkeiten würden sich dann in einem entsprechenden Konstrukt aus Durchschnitten, Vereinigungen, Komplementen dieser Ereignisse abbilden, d.h. das Ereignis

$\begin{eqnarray*} (G_1\cap M_1) \cup (G_2\cap M_2) \cup (G_3\cap M_1) \cup (G_3\cap M_2) \end{eqnarray*}$

ist das Ereignis "fahrendes Schiff".

Für die Variante mit den Indikatorfunktionen spricht, dass es sich beim Umformen um das gewohnte algebraische Rechnen mit $\begin{eqnarray*} +,-,* \end{eqnarray*}$ handelt statt um vielleicht ungewohntere und damit sperrigere Mengenrechnungen mit $\begin{eqnarray*} \cap,\cup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {}^c \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

09.04.2019, 02:23

Dopap

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gute und völlig hinreichende post !

wenn ich nun den direkten Weg versuche und logische Variable verwende, dann ist die kanonische DNF:

(G1 & G2 & G3 & M1 & M2) v (G1 & G2 & G3 & M1 & ¬M2) v (G1 & G2 & G3 & ¬M1 & M2) v (G1 & G2 & ¬G3 & M1 & M2) v (G1 & G2 & ¬G3 & M1 & ¬M2) v (G1 & G2 & ¬G3 & ¬M1 & M2) v (G1 & ¬G2 & G3 & M1 & M2) v (G1 & ¬G2 & G3 & M1 & ¬M2) v (G1 & ¬G2 & G3 & ¬M1 & M2) v (G1 & ¬G2 & ¬G3 & M1 & M2) v (G1 & ¬G2 & ¬G3 & M1 & ¬M2) v (¬G1 & G2 & G3 & M1 & M2) v (¬G1 & G2 & G3 & M1 & ¬M2) v (¬G1 & G2 & G3 & ¬M1 & M2) v (¬G1 & G2 & ¬G3 & M1 & M2) v (¬G1 & G2 & ¬G3 & ¬M1 & M2) v (¬G1 & ¬G2 & G3 & M1 & M2) v (¬G1 & ¬G2 & G3 & M1 & ¬M2) v (¬G1 & ¬G2 & G3 & ¬M1 & M2),

die Unabhängigkeit der Komponenten vorausgesetzt, jetzt noch "rasch" die Variablen mit $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3,r_1,r_2 \end{eqnarray*}$ ersetzt und $\begin{eqnarray*} \land \, \to * \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lnot Z_k \to (1-z_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lor \to + \end{eqnarray*}$ .

und "schon" steht b=... da Augenzwinkern

Nein danke, da versuche ich doch erst noch 'mal die Indikatorenvariante um auf einen besseren ( kürzeren ) Term zu kommen...

09.04.2019, 07:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Nein danke, da versuche ich doch erst noch 'mal die Indikatorenvariante um auf einen besseren ( kürzeren ) Term zu kommen...

Die Terme sind nur deshalb "kürzer", weil das Multiplikationszeichen im Gegensatz zum Schnittsymbol $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ nicht geschrieben werden muss. Augenzwinkern

Ansonsten entspricht das Ausmultiplizieren der Indikatorfunktionsterme letztlich in der anderen Variante der Siebformel. D.h., wenn ich das $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ im Aufschrieb mal weglasse, dann sagt die Siebformel

$\begin{eqnarray*} P(G_1M_1 \cup G_2M_2 \cup G_3M_1 \cup G_3M_2) &=& P(G_1M_1)+P(G_2M_2)+P(G_3M_1)+P(G_3M_2)\\ &&-P(G_1M_1G_2M_2)-P(G_1M_1G_3)-P(G_1M_1G_3M_2)-P(G_2M_2G_3M_1)-P(G_2M_2G_3)-P(G_3M_1M_2)\\ && +P(G_1M_1G_2M_2G_3)+P(G_1M_1G_2M_2G_3)+P(G_1M_1G_3M_2)+P(G_2M_2G_3M_1) -P(G_1M_1G_2M_2G_3)\\ &=& P(G_1M_1)+P(G_2M_2)+P(G_3M_1)+P(G_3M_2)\\ &&-P(G_1G_2M_1M_2)-P(G_1G_3M_1)-P(G_2G_3M_2)-P(G_3M_1M_2)+P(G_1G_2G_3M_1M_2) \end{eqnarray*}$

Die oben angeführte "kanonische DNF" kann ich daher nur als dein Privatvergnügen ansehen, nötig ist deren Betrachtung hier nicht. Augenzwinkern

09.04.2019, 19:33

Dopap

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... und die Indikatorenvariante:

$\begin{eqnarray*} I=1-(1-X_1Y_1)(1-X_2Y_2)(1-X_3Y_1)(1-X_3Y_2) \end{eqnarray*}$ und mit

$\begin{eqnarray*} X_i^2=X_i,\,\,Y_i^2=Y_i \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} I=X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_1+X_3Y_2-X_1X_3Y_1-X_2X_3Y_1 -X_3Y_1Y_2- X_1X_2Y_1Y_2 + X_1X_2X_3Y_1Y_2 \end{eqnarray*}$

was stimmen müsste da das mit obiger Siebformel von HAL konform geht.

Anwendung des Operators $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ergibt
$\begin{eqnarray*} b=p_1r_1+p_2r_2+p_3r_1+p_3r_2-p_1p_3r_1-p_2p_3r_1 -p_3r_1r_2- p_1p_2r_1r_2 + p_1p_2p_3r_1r_2 \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} b=(1-p_3)\bigg[p_1r_1(1-p_2r_2)+p_2r_2\bigg]+p_3(r_1+r_2-r_1r_2) \end{eqnarray*}$

z.B. ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} p_1=p_2=p_3=0.95\quad r_1=r_2=0.99 \end{eqnarray*}$

eine Betriebssicherheit von $\begin{eqnarray*} b=99.9728\% \end{eqnarray*}$

das möglichst selbständige "Durchrechnen" war mir hier wichtig, da man dabei erfahrungsgemäß am meisten profitiert Augenzwinkern

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