Definition Poissonprozess

08.04.2019, 14:37

lili77

Definition Poissonprozess

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe in einer Literatur verschiedene (äquivalente) Definitionen von einem Poisson Prozess und stelle mir bei einer Definition eine Frage. Dort wird ein Poisson Prozess über die Zwischenzeiten $\begin{eqnarray*} \tau_k , \geq 1 \end{eqnarray*}$ definiert, also die Zeit zwischen dem (k-1)-ten und k-ten Eintritt. Wenn diese Zwischenzeiten $\begin{eqnarray*} Exp(\theta) \end{eqnarray*}$ -verteilt sind und unabhängig voneinander sind, dann ist der stochastische Prozess $\begin{eqnarray*} X(t), t\geq 0 \end{eqnarray*}$ , der die Eintritte im Zeitintervall $\begin{eqnarray*} (0,t] \end{eqnarray*}$ zählt ein Poisson Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \theta ^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ . In dem Beweis für die Äquivlanez der Definition wird nie ein Wort über theta verloren (nur eine Anmerkung:" Wir erinnern uns, dass $\begin{eqnarray*} \theta ^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ ) und es wird nur mit Lambda gerechnet und in einem Satz über die Verteilung der Zwischenzeiten wird gezeigt, dass die Zwischenzeit $\begin{eqnarray*} Exp(1/\lambda) \end{eqnarray*}$ -verteilt sind (Die Exponentialfunktion wird in der Literatur zum Parameter 1/lambda definiert daher passt die $\begin{eqnarray*} Exp(1/\lambda) \end{eqnarray*}$ -verteilung zur Literatur wie bei Wikipedia, dort wird die Zwischenzeit nämlich Exponentialverteilt zu Lambda angegeben, ich weiß nicht wieso sie so definiert wird, wenn doch wieder das gleiche rauskommt). Ich verstehe einfach nicht den Sinn von diesem theta. Anfangs wird auch noch gezeigt, dass die X(t)/t in Wahrscheinlichkeit gegen Lambda konvergiert und Lambda daher die Intensität des Prozesses ist. Hier sehe ich nirgendswo den Sinn warum $\begin{eqnarray*} \theta ^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ gesetzt wird und wo das eingeht?

Vielen Dank schonmal!

Meine Ideen:
oben

08.04.2019, 15:24

HAL 9000

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Man kann den Poisson-Prozess beschreiben über

a) die Intensität, die ist definiert als mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit, oder

b) die mittlere Zeit zwischen zwei Ereignissen.

Das eine ist der Kehrwert des anderen. Alles gut, solange man die beiden nicht miteinander verwechselt, und genau das scheint leider im Verlauf deines Beitrags zu geschehen:

Zitat:

Original von lili77
Wenn diese Zwischenzeiten $\begin{eqnarray*} Exp(\theta) \end{eqnarray*}$ -verteilt sind und unabhängig voneinander sind, dann ist der stochastische Prozess $\begin{eqnarray*} X(t), t\geq 0 \end{eqnarray*}$ , der die Eintritte im Zeitintervall $\begin{eqnarray*} (0,t] \end{eqnarray*}$ zählt ein Poisson Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \theta ^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch: Dieses $\begin{eqnarray*} \theta ^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ ist b), d.h. die mittlere Zeit zwischen zwei Ereignissen. Die Intensität des so definierten Poisson-Prozesses ist aber $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Ich beziehe mich dabei ausdrücklich auf jene Interpretation des Exponentialverteilungsparameters, die allgemein üblich ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Zitat:

Original von lili77
Anfangs wird auch noch gezeigt, dass die X(t)/t in Wahrscheinlichkeit gegen Lambda konvergiert und Lambda daher die Intensität des Prozesses ist.

Das passt NICHT zu der Symbolik im erstgenannten Zitat, denn hier ist nun plötzlich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Intensität. Dein Beitrag ist also in sich nicht stimmig - aber wenigstens hast du erkannt, das was faul ist.

Wenn du verschiedene Quellen heranziehst, beachte jeweils immer die inhaltliche Bedeutung der Symbole. Verlass dich also NICHT darauf, dass gleiche Symbole in unterschiedlichen Artikeln/Büchern übergreifend immer dieselbe inhaltliche Bedeutung haben! Sieht nämlich ganz danach aus, als wäre das die Falle, in die du getappt bist.

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Also alles nochmal in Kurzform: Ein homogener Poisson-Prozess der Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hat

1) $\begin{eqnarray*} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray*}$ -verteilte Zeiten zwischen benachbarten Ereignissen, was einer mittleren Zeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ zwischen diesen Ereignissen entspricht,

2) in jedem Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \operatorname{Poisson}(\lambda t) \end{eqnarray*}$ -verteilte Anzahl von Ereignissen, was im Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} \frac{X(t)}{t}=\lambda \end{eqnarray*}$ P-f.s. bedeutet.

08.04.2019, 15:57

lili77

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Hallo HAL 9000,

danke für die Antwort!
Die Quelle ist ein und dieselbe. Das ist wirklich verwirrend, ich habe die genannten Teile nochmal als Bild angehangen. Die Exponentialdichte ist wie gesagt anders definiert, auch diese Definition findet man auf Wikipedia (für den "angelsächsischen Raum üblich").
Ich verstehe es nicht. verwirrt

08.04.2019, 16:07

HAL 9000

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Ah Ok, der Scan über die Exponentialverteilung ist aufschlussreich:

Wenn du das mal mit dem von mir oben angebrachten Link zur Exponentialverteilung vergleichst, dann fassen die in deinem Buch den Parameter gerade andersherum auf als in der Wikipedia, d.h., bei in deinem Buch entspricht der Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dem Erwartungswert.

Dann ist natürlich alles wieder in sich stimmig.

Zitat:

Original von lili77
Die Exponentialdichte ist wie gesagt anders definiert, auch diese Definition findet man auf Wikipedia (für den "angelsächsischen Raum üblich").

Das als "üblich" zu bezeichnen, ist Ermessensfrage: Ich hab auch in englischen Texten schon beide Varianten gesehen. Und der englische Wikipedia-Eintrag zur Exponentialverteilung bringt ja auch nicht gerade die "übliche" Variante als erstes. Augenzwinkern

08.04.2019, 16:17

lili77

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Ja okay, also es ist gleichbedeutend ob ich Exp(a) schreibe und die Definition aus Wikipedia meine und Exp(1/a) schreibe, aber dabei meine Definition meine, richtig?
Aber wieso wird dann für die Definition dieses uminöse theta eingeführt? Man hätte doch auch einfach (wie vorher im Buch) "Exp(1/lambda)-verteilten Zwischenzeiten [...] ist Poisson Prozess mit Intensität Lambda" schreiben können. verwirrt

08.04.2019, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von lili77
Aber wieso wird dann für die Definition dieses uminöse theta eingeführt? Man hätte doch auch einfach (wie vorher im Buch) "Exp(1/lambda)-verteilten Zwischenzeiten [...] ist Poisson Prozess mit Intensität Lambda" schreiben können. verwirrt

Ja, hätte man tun können. Vielleicht waren es die Autoren leid, in weiteren Formeln allzu viele Bruchstriche schreiben zu müssen, daher haben sie eben ein neues Symbol eingeführt - da musst du sie fragen. Augenzwinkern

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