Ordnung der Gruppenelemente

09.04.2019, 10:03	Mathstudent1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung der Gruppenelemente Meine Frage: Wie kann ich die Ordnung jedes Gruppenelements von Zm bestimmen? 129320 Meine Ideen: Erstmal denke ich, dass es sich bei dieser Angabe nur um (Zm,+) handeln kann, da ja (Zm,*) keine Gruppe ist, oder? Dann habe ich weiters überlegt, dass 0 Ordnung 1 hat und 1 Ordnung m hat. Aber mir ist nicht klar wie ich die Ordnung der weiteren Elememte bestimmen kann. Ich weiß ja nur, dass m irgendeine natürliche Zahl ist... ist sicher nicht schwer, aber ich stehe einfach auf der Leitung ??
09.04.2019, 11:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x\in(\mathbb Z/\mathbb mZ,+) \end{eqnarray}$ ist jedenfalls $\begin{eqnarray} m\cdot x\equiv 0(mod\, m) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} ord(x)\|m \end{eqnarray}$ ein Teiler der Gruppenordnung. Betrachte z.B. die Elemente der Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/\mathbb 12Z,+) \end{eqnarray}$ , dann fällt dir sicher die Gesetzmäßigkeit auf. Tipp: beachte $\begin{eqnarray} ggT(x,m) \end{eqnarray}$ .
09.04.2019, 22:12	Mathestudent1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für alle Elemente, für die gcd(x,m)=1 gilt, ist die Ordnung x=m. und für die Elemente, für die gcd(y,m)=x gilt, ist ord y=m/x. Das heißt also der Exponent dieser Gruppe, also das lcm aller Ordnungen, ist m, richtig?
10.04.2019, 08:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Ob der ggT(x,m)=1 oder größer ist, muss man nicht unterscheiden. Die Ordnung eines Elements x ist immer ord(x) =m/ggT(x,m) . Du darfst diese Aussage beweisen ...

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