Ordnung der Gruppenelemente

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Mathstudent1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung der Gruppenelemente
Meine Frage:
Wie kann ich die Ordnung jedes Gruppenelements von Zm bestimmen? 129320

Meine Ideen:
Erstmal denke ich, dass es sich bei dieser Angabe nur um (Zm,+) handeln kann, da ja (Zm,*) keine Gruppe ist, oder?
Dann habe ich weiters überlegt, dass 0 Ordnung 1 hat und 1 Ordnung m hat.
Aber mir ist nicht klar wie ich die Ordnung der weiteren Elememte bestimmen kann. Ich weiß ja nur, dass m irgendeine natürliche Zahl ist... ist sicher nicht schwer, aber ich stehe einfach auf der Leitung ??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist jedenfalls , also ein Teiler der Gruppenordnung. Betrachte z.B. die Elemente der Gruppe , dann fällt dir sicher die Gesetzmäßigkeit auf. Tipp: beachte .
 
 
Mathestudent1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für alle Elemente, für die gcd(x,m)=1 gilt, ist die Ordnung x=m.
und für die Elemente, für die gcd(y,m)=x gilt, ist ord y=m/x.
Das heißt also der Exponent dieser Gruppe, also das lcm aller Ordnungen, ist m, richtig? smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ob der ggT(x,m)=1 oder größer ist, muss man nicht unterscheiden. Die Ordnung eines Elements x ist immer ord(x) =m/ggT(x,m) .

Du darfst diese Aussage beweisen ...
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