Wahrscheinlichkeit, aus 3 Würfen x Treffer

09.04.2019, 10:32

MaxTrax

Wahrscheinlichkeit, aus 3 Würfen x Treffer

Hallo zusammen

Folgende Aufgabe:
Leo ist Korbballspieler. Er trifft bei einem Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 90%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in 3 Würfen genau x = 0, 1, 2, 3 Treffer erzielt.

So weit, so gut. Denn:
P(X=0) = 0.001
P(X=1) = 0.027
P(X=2) = 0.243
P(X=3) = 0.729

Da bin ich ziemlich sicher.

Nun aber: Welche Wahrscheinlichkeit hat jedes der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ergebnisse?

Und, es ist korrekt, dass
P(TTT) = 1/8
P(TTN) = 1/8
P(TNT) = 1/8
usw. ist, oder? (Wobei T = Treffer, N = Nicht-Treffer)

Und noch etwas: Was ist die Binomialverteilung von 0, 1, 2, 3 bzw. $\begin{eqnarray*} Bin_{n, p}(x) \end{eqnarray*}$ ?

Danke fürs Aufklären! smile

09.04.2019, 11:29

willyengland

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RE: Wahrscheinlichkeit, aus 3 Würfen x Treffer

Zitat:

Original von MaxTrax

P(X=0) = 0.001
P(X=1) = 0.027
P(X=2) = 0.243
P(X=3) = 0.729

Das ist doch schon die Lösung.

Den Rest verstehe ich nicht.

09.04.2019, 12:13

HAL 9000

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Ich denke mal, MaxTrax geht es um die genaue zeitliche Anordnung der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Treffer im Schussablauf. Und da ist die Antwort immer dieselbe bei einem solchen Bernoulli-Experiment bestehend aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

Jede feste Sequenz mit genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Erfolgen hat Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ . Da es insgesamt genau $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ solche Sequenzen gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Erfolge entsprechend $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ , bekannt dann als Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeit.

Im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.9 \end{eqnarray*}$ heißt das beispielsweise, dass jede der drei Sequenzen NNT, NTN sowie TNN für genau einen Treffer jeweils die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0.9^1\cdot 0.1^2 = 0.009 \end{eqnarray*}$ besitzt.

09.04.2019, 12:37

MaxTrax

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Vielen Dank für Eure Inputs!

Und wenn da dann steht: "Jedes der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ergebnisse mit x Erfolgen hat die Wahrscheinlichkeit ______ "

Was muss hier also eingesetzt werden?

09.04.2019, 13:48

HAL 9000

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Das habe ich doch gerade geschrieben! Ist es so schwer, das von dem beschriebenen allgemeinen Fall hier konkret zuzuordnen?

Also: $\begin{eqnarray*} n=3,p=0.9 \end{eqnarray*}$ und statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ verwendest du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (was sagt wohl Leopold dazu, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für eine Zählvariable...), das ergibt Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p^k(1-p)^{n-k} = 0.9^x\cdot 0.1^{3-x} = 0.001\cdot 9^x \end{eqnarray*}$ .

10.04.2019, 08:02

MaxTrax

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Aber eine (Verständnis-Check-) Frage habe ich doch noch:

Wenn ich 3 Würfe habe und nach der Wahrscheinlichkeit frage, genau 1 Treffer zu erzielen, so ist $\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 0.9^1 \cdot 0.1^2 \end{eqnarray*}$ , richtig?

10.04.2019, 09:06

HAL 9000

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Ja genau, das ist die zugehörige Binomialverteilungswahrscheinlichkeit: Es gibt $\begin{eqnarray*} \binom{3}{1}=3 \end{eqnarray*}$ mögliche Pfade (nämlich TNN, NTN oder NNT) für genau einen Treffer, und jeder einzelne hat die Wkt $\begin{eqnarray*} 0.9^1 \cdot 0.1^2 \end{eqnarray*}$ , summa summarum ergibt das dein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

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