Wahrscheinlichkeit, es schneit x Mal an n Tagen

09.04.2019, 15:15

eroy

Wahrscheinlichkeit, es schneit x Mal an n Tagen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem. Gegeben sind insgesamt n Tage sowie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen es an einem bestimmten Tag schneit. Z. B., insgesamt sind es 4 Tage und es schneit mit Wahrscheinlichkeit 0.5 an jedem Tag. Nun, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an 2 Tagen von diesen 4 Tagen schneit?

Ist es korrekt zu sagen, dass wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen wollte, wenn es an allen 4 Tagen schneit, dann kann ich die Wahrscheinlichkeiten ausmultiplizieren? D.h., ich bekomme, die Wahrscheinlichkeit, dass es an allen 4 Tagen schneit ist 0.0625. Ist das korrekt?

Welche Formel könnte ich nutzen, um das ursprüngliche Problem zu lösen?

Danke euch für Ratschläge!

09.04.2019, 15:59

G090419

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit, es schneit x Mal an n Tagen

Zitat:

dass es an 2 Tagen von diesen 4 Tagen schneit?

Bernoulli- Kette:

(4über2)*0,5^2*0,5^2 = ...

Deine Lösung ist korrekt.
Mit der Kette:
(4über4)*0,5^4*0,5^0

p= 0,5, 1-p =0,5

09.04.2019, 16:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eroy
Gegeben sind insgesamt n Tage sowie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen es an einem bestimmten Tag schneit.

Wichtige Informationen, aber dennoch nicht ausreichend um deine Frage zu beantworten. Ist z.B. noch gegeben, dass der Schneefall an verschiedenen Tagen UNABHÄNGIG voneinander erfolgt? Wenn nicht diese, dann benötigt man noch eine andere Information zur Verknüpfung der verschiedenen Tage, sonst kann man wie gesagt deine Frage nicht beantworten.

Zitat:

Original von eroy
Ist es korrekt zu sagen, dass wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen wollte, wenn es an allen 4 Tagen schneit, dann kann ich die Wahrscheinlichkeiten ausmultiplizieren?

Dazu benötigst du jene o.g. Unabhängigkeitsvoraussetzung - dann ist es korrekt.

Zitat:

Original von eroy
Welche Formel könnte ich nutzen, um das ursprüngliche Problem zu lösen?

Wenn die Schneefallwahrscheinlichkeit jeden Tag gleich ist und die Unabhängigkeit vorausgesetzt wird, dann hilft die Binomialverteilung (EDIT: wie von G090419 vorgerechnet).

09.04.2019, 16:12

eroy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von eroy
Gegeben sind insgesamt n Tage sowie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen es an einem bestimmten Tag schneit.

Schneefall erfolgt an verschiedenen Tagen unabhängig voneinander. Und blöderweise sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten variieren. In diesem Fall kann ich also die Bernoulli-Kette nicht anwenden.. verwirrt

09.04.2019, 16:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann geht es nur einzeln, Tippel-Tappel-Tour, so nervig das auch sein mag, d.h.

$\begin{eqnarray*} p_1p_2(1-p_3)(1-p_4) + p_1(1-p_2)p_3(1-p_4) + p_1(1-p_2)(1-p_3)p_4 + (1-p_1)p_2p_3(1-p_4) + (1-p_1)p_2(1-p_3)p_4 + (1-p_1)(1-p_2)p_3p_4 \end{eqnarray*}$ .

Für "große" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird das rasch unübersichtlich komplex und übermäßig rechenaufwändig. In dem Fall lohnt es sich, das ganze rekursiv aufzubauen:

Sei $\begin{eqnarray*} q_{n,k} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Schneetage an den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Tagen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} q_{n+1,k} = (1-p_{k+1})q_{n,k} + p_{k+1}q_{n,k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$

mit den Start- und Randwerten $\begin{eqnarray*} q_{0,0}=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q_{n,k}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ .

Hier wäre dann $\begin{eqnarray*} q_{4,2} \end{eqnarray*}$ gesucht.

09.04.2019, 16:30

eroy

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollquote entfernt! Zum Antworten NICHT den Zitat-Button klicken!

Danke schön HAL9000. Das ist genau das, was ich gesucht habe, aber ich brauche jetzt noch eine Weile um das zu verstehen. Wie kommt man auf so eine Formel bzw. gibt es dafür einen offiziellen Namen?

09.04.2019, 16:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eroy
Wie kommt man auf so eine Formel bzw. gibt es dafür einen offiziellen Namen?

Welche davon? Die hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} q_{n+1,k} = (1-p_{k+1})q_{n,k} + p_{k+1}q_{n,k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$

Das ist letztlich die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit angewandt auf die spezielle Situation hier.

09.04.2019, 16:44

eroy

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollquote entfernt! Zum Antworten NICHT den Zitat-Button klicken!

Danke schön!!!

09.04.2019, 18:14

eroy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Dann geht es nur einzeln, Tippel-Tappel-Tour, so nervig das auch sein mag, d.h.

$\begin{eqnarray*} p_1p_2(1-p_3)(1-p_4) + p_1(1-p_2)p_3(1-p_4) + p_1(1-p_2)(1-p_3)p_4 + (1-p_1)p_2p_3(1-p_4) + (1-p_1)p_2(1-p_3)p_4 + (1-p_1)(1-p_2)p_3p_4 \end{eqnarray*}$ .

Für "große" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird das rasch unübersichtlich komplex und übermäßig rechenaufwändig. In dem Fall lohnt es sich, das ganze rekursiv aufzubauen:

Sei $\begin{eqnarray*} q_{n,k} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Schneetage an den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Tagen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} q_{n+1,k} = (1-p_{k+1})q_{n,k} + p_{k+1}q_{n,k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$

mit den Start- und Randwerten $\begin{eqnarray*} q_{0,0}=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q_{n,k}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ .

Hier wäre dann $\begin{eqnarray*} q_{4,2} \end{eqnarray*}$ gesucht.

@HAL9000, noch eine kurze Frage. Könntest du bitte vielleicht noch kurz sagen, wie ich von

$\begin{eqnarray*} p_1p_2(1-p_3)(1-p_4) + p_1(1-p_2)p_3(1-p_4) + p_1(1-p_2)(1-p_3)p_4 + (1-p_1)p_2p_3(1-p_4) + (1-p_1)p_2(1-p_3)p_4 + (1-p_1)(1-p_2)p_3p_4 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} q_{n+1,k} = (1-p_{k+1})q_{n,k} + p_{k+1}q_{n,k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$

komme? Ich kann irgendwie einfach nicht verstehen, wie ich vorgehen müsste. verwirrt

Gibt es vielleicht eine einfach verständliche Methode..

09.04.2019, 19:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Falsche Richtung! Wie die untere Gleichung begründet werden kann, hatte ich ja oben angedeutet (Formel totaler Wkt). Und aus dieser unteren Gleichung folgt durch mehrfache Anwendung (d.h. der Rekursion folgend) die obere:

$\begin{eqnarray*} q_{0,0}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_{1,0} = (1-p_1)q_{0,0} + p_1q_{0,-1} = 1-p_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{1,1} = (1-p_1)q_{0,1} + p_1q_{0,0} = p_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_{2,0} = (1-p_2)q_{1,0} + p_2q_{1,-1} = (1-p_1)(1-p_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{2,1} = (1-p_2)q_{1,1} + p_2q_{1,0} = p_1(1-p_2)+(1-p_1)p_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{2,2} = (1-p_2)q_{1,2} + p_2q_{1,0} = p_1p_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_{3,1} = (1-p_3)q_{2,1} + p_3q_{2,0} = p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{3,2} = (1-p_3)q_{2,2} + p_3q_{2,0} = p_1p_2(1-p_3)+p_1(1-p_2)p_3+(1-p_1)p_2p_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_{4,2} = (1-p_4)q_{3,2} + p_4q_{3,1} = p_1p_2(1-p_3)(1-p_4)+p_1(1-p_2)p_3(1-p_4)+(1-p_1)p_2p_3(1-p_4)+p_1(1-p_2)(1-p_3)p_4+(1-p_1)p_2(1-p_3)p_4+(1-p_1)(1-p_2)p_3p_4 \end{eqnarray*}$

Die Idee der Rekursion ist natürlich nicht, diese ellenlangen Bandwurmterme zu generieren, sondern für konkrete $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ direkt die Werte auszurechnen. Augenzwinkern

09.04.2019, 20:58

eroy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} q_{4,2} = p_1p_2(1-p_3)(1-p_4)+p_1(1-p_2)p_3(1-p_4)+(1-p_1)p_2p_3(1-p_4)+p_1(1-p_2)(1-p_3)p_4+(1-p_1)p_2(1-p_3)p_4+(1-p_1)(1-p_2)p_3p_4 \end{eqnarray*}$

Danke dir für deine Mühen, jetzt ist einiges viel klarer geworden. Wenn ich jetzt meine Wahrscheinlichkeiten, $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} p_4 \end{eqnarray*}$ mit jeweils 0.5 einsetze, erhalte ich 0.375. Die Antwort müsste aber 0.6875 lauten. Dann habe ich doch noch etwas falsch verstanden?

09.04.2019, 22:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eroy
Wenn ich jetzt meine Wahrscheinlichkeiten, $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} p_4 \end{eqnarray*}$ mit jeweils 0.5 einsetze, erhalte ich 0.375. Die Antwort müsste aber 0.6875 lauten.

Nein, die richtige Antwort für "genau 2 Schneetage" ist ja auch gemäß Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2} 0.5^2\cdot (1-0.5)^{4-2} = \frac{6}{16} = 0.375 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht war die Frage ja die nach "mindestens 2 Schneetagen" (das beinhaltet also auch die Fälle 3 oder gar 4 Schneetage), da kommt in der Tat $\begin{eqnarray*} \frac{11}{16} = 0.6875 \end{eqnarray*}$ heraus.

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit, es schneit x Mal an n Tagen

Verwandte Themen