Bestandsfunktionen kombinieren

09.04.2019, 19:42

Catmax78

Bestandsfunktionen kombinieren

Meine Frage:
Ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} M(t)=500*e^{0,6t} \end{eqnarray*}$ , die mir für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 3 \end{eqnarray*}$ einen Bestand angibt. Ab t=3 ändert sich das Wachstum zu $\begin{eqnarray*} r(t)=300*e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$ .
Die Aufgabe ist nun, eine Funktion (N) aufzustellen, die mir den Gesamtbestand für $\begin{eqnarray*} t\geq 3 \end{eqnarray*}$ ausgibt.

Meine Ideen:
Meine Idee dafür war, M(3)+R(t) zu kombinieren.
Die Musterlösung sieht auch ganz ähnlich aus, nämlich $\begin{eqnarray*} 1000*e^{1,8}-500*e^{3,6*0,6t} \end{eqnarray*}$ .
Wieso verdoppelt sich bei M(3) die 500? Ich kapiere es nicht...

10.04.2019, 09:53

klarsoweit

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RE: Bestandsfunktionen kombinieren

Zitat:

Original von Catmax78
Die Musterlösung sieht auch ganz ähnlich aus, nämlich $\begin{eqnarray*} 1000*e^{1,8}-500*e^{3,6*0,6t} \end{eqnarray*}$ .

Wahrscheinlich sollte das $\begin{eqnarray*} G(t) = 1000 e^{1,8} - 500e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$ lauten.

Zitat:

Original von Catmax78
Meine Idee dafür war, M(3)+R(t) zu kombinieren.

Gute Idee, aber wie hast du dieses "kombinieren" gemacht? Und sind r(t) und R(t) in deiner Schreibweise das gleiche?

10.04.2019, 12:48

Catmax78

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RE: Bestandsfunktionen kombinieren
Zuerst zur Klarstellung: Das Lehrbuch, mit dem wir arbeiten, unterscheidet zwischen Bestandsfunktionen (bei dieser Aufgabe aktuelle Anzahl Pantoffeltierchen in einer Nährlösung zu einem bestimmten Zeitpunkt...) und Änderungsfunktionen (hier also Wachstumsrate der Tierchen). Ich weiß nicht, ob das offizielle mathematische Begriffe sind, ich habe sie einfach mal benutzt.

Zitat:

Wahrscheinlich sollte das $\begin{eqnarray*} G(t)=1000e^{1,8} -500e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$ lauten.

Stimmt, vertippt. Sorry.

Zitat:

Gute Idee, aber wie hast du dieses "kombinieren" gemacht? Und sind r(t) und R(t) in deiner Schreibweise das gleiche?

R(t) ist die Stammfunktion von r(t).
Also muss (zumindest nach meinem Verständnis) zu allem, was zum Zeitpunkt t=3 gerade da ist (M(3)), die Stammfunktion R(t) addiert werden, um eine Funktion zu erhalten, die den Bestand für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 3 \end{eqnarray*}$ ausgibt.
Dabei muss ich vielleicht erwähnen, dass diese Funktion nur definiert sein soll für $\begin{eqnarray*} 3\leq t\leq 6 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} M(3)=500e^{0,6*3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 500e^{1,8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R(t)=-500e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$
Also wäre: $\begin{eqnarray*} M(3)+R(t)=500e^{1,8}-500e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 3\leq t\leq 6 \end{eqnarray*}$

Aber das ist eben falsch und die richtige Lösung lautet: $\begin{eqnarray*} N(t)=1000e^{1,8}-500e^{3,6-0,6t} \end{eqnarray*}$
Wo ist mein Denkfehler?

10.04.2019, 13:58

klarsoweit

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RE: Bestandsfunktionen kombinieren
Du kannst natürlich nicht irgendeine beliebige Stammfunktion R(t) nehmen. Es muß schon eine sein, bei der R(3) = 0 ist. Oder du nimmst $\begin{eqnarray*} R(t) := \int_3^t r(x) ~dx \end{eqnarray*}$ . Die Funktion paßt garantiert. smile

10.04.2019, 14:53

Catmax78

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RE: Bestandsfunktionen kombinieren
Alles klar! Danke!

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