Laplace-Gleichung

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Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung
Meine Frage:
Seien eine orthogonale Matrix und eine Lösung der Laplace Gleichung. Zeigen Sie: Die Funktion

ist ebenfalls eine Lösung der Laplace Gleichung.




Meine Ideen:
Ich denke ich muss mit der mehrdimensionalen kettenregel arbeiten.

Die erste Ableitung von v ist:




und dementsprechend die zweite:





Also folgt




stimmt das so ? Habe ich alles korrekt aufgeschrieben?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung
Die Laplacegleichung kann man mit dem Nabla-Operator formal schreiben als



Mit einer Variablentransformation kann man eine neue Funktion erzeugen. Zu zeigen ist, dass für diese Funktion ebenfalls gilt



Wie man durch die Kettenregel leicht bestätigen kann, gilt . Dabei ist die transponierte Matrix von A. Formal transformiert sich also der Nabla-Operator gemäß



Setzt man dies in die obige Laplacegleichung ein, ergibt sich



Da die Matrix A orthogonal ist, gilt .
 
 
Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung
Hallo Ehos danke für die Antwort.

Ich hätte dazu einige fragen:

1. Warum tut man eine Variablentransformation durch ? Muss man das machen?

2. Wie kommst du auf den Gradienten ? verwirrt

3. In der letzten Gleichung wie kommst du auf den Zweiten Ausdruck?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

-------------------------------------
Frage 1:
Warum Variablentransformation?

Antwort 1:
Die Funktion erfüllt die Laplacegleichung und du sollst zeigen, dass die Funktion ebenfalls die Laplacegleichung erfüllt. Die neue Funktion ist also dadurch entstanden, dass man im Argument eine Variablentransformation durchgeführt hat. Das habe ich mir nicht ausgedacht, sondern das ist gerade die Aufgabenstellung!

Beispiel:
Die lineare Funktion y=mx+n erfüllt offenbar die "Laplacegleichung" . Man soll zeigen, dass nach der Variablentransformation die Funktion y(ax)=m(ax)+n immer noch die Laplacegleichung erfüllt. Dies ist der Fall, denn offenbar gilt .
-------------------------------------
Frage 2:
Wie kommt man auf den Gradienten?

Antwort 2:
Die Laplacegleichung lautet . Der Laplaceoperator kann formal als "Quadrat" des Nablaoperators (=Gradient) dargestellt werden, also .

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Frage 3:
Wie kommt man auf den zweiten Ausdruck in der letzten Gleichung?

Antwort 3
Bei jedem Skalarprodukt mit einer Matrix A kann man die Matrix A vom ersten Faktor auf den zweiten Faktor abwälzen, wenn man die Matrix transponiert. Allgemein gilt also .
Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Danke für die Ausführliche Antwort.

Frage 2 hast du etwas falsch verstanden ich meinte eigentlich damit das ich nicht weiß wie du auf das Ergebnis gekommen bist.

Mit der Mehrdimensionalen Kettenregel?
Das ist doch der Teil aus dem Anhang oder ? Wie kommt das A transponiert zu Stande
Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht die Rechnung dann so aus:




Iwas mache ich doch falsch
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne das mal anhand eines 2-dimensionalen Beispiels vor. In diesem Falle lautet die orthogonale 2x2-Matrix und du muss von folgender Funktion den Laplaceoperator berechnen:



Die 1.Ableitungen lauten mittels Kettenregel





Die 2.Ableitungen lauten mittels Kettenregel





Wenn man alles addiert und zusammenfasst, ergibt sich der 2-dimensionale Laplaceoperator



Die Klammern ergeben die Werte 1 bzw. 0, weil für die obige Matrix A gilt . Prüfe das mal nach, indem du das Matrixprodukt explizit berechnst und mit der Einheitsmatrix gleichsetzt.
Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung
Tut mir leid das ich jetzt erst antworte. Man denkt man beherrsche nun die mehrdimensionale Kettenregel und dann steht man blöd da Hammer

Stimmt dieser Rechenweg:



=



=

=


für n=m=2 ist das ja auch genau das was du hast.
Stimmt das so ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Pluszeichen in deinen Matrizen nicht.
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Ich schreibe dir den Beweis nochmals in der kompakten Indexschreibweise auf. In dieser Schreibweise wird automatisch über doppelt auftretende Indizes summiert, wobei man das Summenzeichen zwecks Abkürzung weglässt.

Zwei Beispiele:

bedeutet oder bedeutet
-------------------------------------------------------
Satz:
Wenn die Funktion die Laplacegleichung erfüllt, so erfüllt die Funktion ebenfalls die Laplacegleichung, wobei man die neue Funktion durch eine Koordinatentransformation mit einer orthogonalen Matrix gewonnen hat.

Beweis:


Im vorletzten Schritt wurde die Indentität benutzt. Dies entspricht der Matrixgleichung , was gerade die Defintion von orthogonalen Matrizen ist.
Halli80 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohman du bist so nett traurig
Du hast einfach nochmal den Beweis aufgeschrieben.
Vielen dank für die Mühe ich werde mir jeden Schritt genau angucken.
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