Integration durch Substitution

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SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution
Guten Tag,

ich sitze seit einigen Tagen an zwei Aufgaben wo ich mittels Substitution integrieren muss.
Da ich nun mit meinen Ideen am Ende bin wäre ich für hilfreiche Tipps die mich auf den richtigen Weg bringen sehr dankbar.

Aufgabe:

Berechne mittels Substitution:





Bei Teilaufgabe a) hatte ich den Wurzelausdruck mittels quadratischer Ergänzung "vereinfacht" und hänge nun bei dem Punkt, dass ich absolut keine Ahnung habe was man sinnvoll substituieren könnte.

Ich hoffe, dass ich die quadratische Ergänzung richtig gemacht habe. verwirrt




Aus den Hinweisen, die der Aufgabe beigefügt waren, gehe ich davon aus, dass man den Ausdruck letztendlich auf umformen muss um dann als Stammfunktion zu erhalten.



Bei Teilaufgabe b) stehe ich vor dem selben Problem und weiß nicht was man klugerweise substituieren sollte.
Auch hier war der Hinweis gegeben, dass der Ausdruck letztendlich entsprechen muss um dann als Stammfunktion zu erhalten.



Gibt es da Möglichkeiten wie man darauf kommt oder muss man das einfach sehen?

Ich bin für jeden hilfreichen Tipp dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Für b) kannst du einfach ausklammern. Dann bist du eigentlich schon fast da wo du sein willst.

Für die a) ist das in der Tat nicht ganz so schön. Da würde ich wohl mehrfach substituieren - bei dem Stand wo du gerade bist. Hol das a des ersten Terms wieder unter das Quadrat und nimm dann den ersten Term als u². Das sollte helfen Augenzwinkern .
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es denn bei a) irgendwelche Voraussetzungen über a, b und c? Ansonsten kommst du wohl um eine Fallunterscheidung nicht herum, siehe:

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_in...30;ax2_+_bx_+_c

Bei b) kannst du ja einfach dein Ergebnis von a) nutzen.
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

@Equester
Vielen Dank für die Tipps ich habe mich direkt an b) versucht und bin folgendermaßen vorgegangen:







Kannst du eventuell mal drüberschauen? Für mich ergibt es Sinn aber leider hat keiner meiner Kommilitonen ein Ergebnis zum vergleichen.

@Mathema
Entschuldigung ich hatte vergessen anzugeben, dass und angenommen werden. Also bleibt mir eine Fallunterscheidung erspart.
Danke für den Link da hab ich dann ein Ergebnis zum Vergleich.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich bestätigen. Sehr gut Freude
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt. Es muss aber richtig lauten. Und somit:



Merkwürdig, dass du das richtige Ergebnis trotzdem notiert hast. Wenn du deine Grenzen gleich mit transformierst, kannst du dir eine Resubstitution natürlich sparen.

-Tip: Einen Malpunkt schreibst du als \cdot
 
 
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt mir sehr geholfen vielen Dank smile

@Mathema

Da ist mir wohl ein Fehler beim eintippen unterlaufen geschockt .
Ich habe in meinen Aufzeichnungen natürlich .

Stimmt, das ist von der Notation her sogar noch besser und spart etwas Arbeit. Hab es bisher nur noch nie auf die Art und Weise von unserem Dozenten gesehen. Vielleicht um nicht zu verwirren aber ich werde mir das definitiv angewöhnen.

Du meinst ja sicherlich und und dann oder?

Danke für den Tipp ich hab gerade erst mit Latex angefangen und kenne noch nicht so viele Befehle.

Ich versuch mich dann mal an a)
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür ist dein LaTeX aber schon super! Freude

Du kannst in der letzten Zeile ruhig ein Gleichheitszeichen setzen.



Viel Erfolg für die a). smile

PS: Sind das wirklich Aufgaben aus der Schule?
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke smile

Nein das ist eine Aufgabe aus Mathematik II für Ingenieure, jedoch ist es ja nur aufleiten und ich dachte mir schon das ich irgendwo aufm Schlauch stand.
Hatte die Aufgabe für zu trivial erachtet, als das man sie in Hochschulmathematik hätte posten können.

Entschuldigung falls ich es besser in Hochschulmathematik - Analysis gesollt hätte.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Problem, es wurde schon verschoben. Aber bitte - benutze nie wieder das Wort "aufleiten"! Falls du noch einen Tip für a) brauchst, schau dort:

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema

Hi, vielen Dank für deinen Tipp mit der Eulerschen Substitution.
Hat mir etwas weitergeholfen leider hänge ich kurz vorm Ende nochmal und wollte fragen ob du noch einen kleinen Tipp für mich hättest.

Mein aktueller Stand:

Eulersche Substitution:




An dieser Stelle stecke ich fest. Eventuell stehe ich wieder mal auf dem Schlauch aber ich habe keine Ahnung wie ich da auf einen sinnvollen Ausdruck kommen könnte bzw. was ich wie umformen kann um kürzen zu können :/.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu SM!LE,

nun, das ist doch einfache Schulalgebra.





Nun bilde mal das Produkt und kürze.

Wink

edit: Wenn du den Bruch auseinander ziehst (was hier ja nicht zielführend ist), musst du Klammern setzen:

SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

*Peinlich* Hammer
Vielen Dank für die Erleuchtung.

Ich bin jetzt glaube am Ende angekommen aber der Term sieht irgendwie nicht so aus wie er sollte.

Ich weiß das ich am Ende etwas mit arsinh(...)+C herausbekommen muss und auch das ist.

Mein Term sieht aktuell jedoch so aus.

Übrig blieb ja nur noch

Wenn ich jetzt resubstituiere, dann bekomm ich folgendes raus:



Ich gehe mal davon aus, dass mir da irgendwo ein Fehler unterlaufen sein wird, weil wenn ich es durch den Integralrechner jage spuckt der mir folgenden Term aus:

was dann äquivalent zu sein soll.

Ich kann dir gar nicht genug danken für die Hilfe. Wäre schon komplett verzweifelt verwirrt .
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SM!LE
Wenn ich jetzt resubstituiere, dann bekomm ich folgendes raus:




Bis auf eine fehlende 2 stimmt das doch.



Siehe hier. Damit ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Noch ein -Tip: Gewöhne dir an, vor Funktionen immer ein \ zu setzen.

edit:
Zitat:
Original von SM!LE
Übrig blieb ja nur noch


Dir einen guten Start in die neue Woche!
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank.

Du hast mir wirklich sehr geholfen.

Danke, das wünsche ich dir auch smile
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