Basisergänzungssatz

10.04.2019, 19:15

Kathreena

Basisergänzungssatz

Es sei der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit der Standardbasis $\begin{eqnarray*} B = \left\{ e1,e2,e3 \right\} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Weiters sei $\begin{eqnarray*} W = \left\{ w_1, w_2 \right\} \end{eqnarray*}$ eine linear unabhängige Menge.

$\begin{eqnarray*} w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergänzen Sie $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Vektoren der Standardbasis, gemäß des im Beweis zum Basis ergänzungssatz beschriebenen Verfahrens, zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee:

Es is nun die Frage, wie findet man heraus welcher Vektor überhaupt in frage kommt. Also habe ich zuerst alle in eine Matrix gepackt und auf lineare unabhängigkeit überprüft.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 4 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also nehm ich den Vektor $\begin{eqnarray*} e3 \end{eqnarray*}$ .

Muss ich nun noch zeigen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 = \lambda_1 \cdot w_1 + \lambda_2 \cdot w_2 + \lambda_3 \cdot e_1 \end{eqnarray*}$

Also das
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & | & x_1 \\ 2 & 4 & 0 & | & x_2 \\ 1 & -2 & 1 & | & x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung hat ?

11.04.2019, 08:33

klarsoweit

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RE: Basisergänzungssatz

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 4 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also nehm ich den Vektor $\begin{eqnarray*} e3 \end{eqnarray*}$ .

Wahrscheinlich sollte die untere Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 4 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lauten.

Mir ist aber nicht klar, warum du nun aus dem Ergebnis den Vektor e_3 als Kandidaten nimmst. Wenn ich Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfe, schreibe ich diese zeilenweise in eine Matrix. Allerdings ist in diesem Fall sofort klar, daß die Vektoren w_1, w_2, e_1, e_2 und e_3 linear abhängig sind. Insofern ist fraglich, ob dein Vorgehen dem Verfahren des Basisergänzungssatzes entspricht. Ich würde eher sukzessiv die Vektoren w_1, w_2 und exakt einen Vektor aus der Standardbasis abprüfen.

11.04.2019, 09:34

Kathreena

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 4 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weil man hier genu auf die Stufenform kommt, wenn man e1 und e2 weglässt.

Dann stünde nurnoch

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 4 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die sind linear unabhängig.

11.04.2019, 10:26

klarsoweit

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Du kämst auch auf die Stufenform, wenn du e_2 und e_3 wegläßt. Insofern habe ich meine Zweifel, ob dein Vorgehen dem Verfahren des Basisergänzungssatzes entspricht.

Nun ja, wie heißt es so schön: am Ende zählt, was hinten rauskommt. smile

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