Reelle Zahlen mit zusätzlichem Punkt, hausdorffsch und nicht metrisch?

12.04.2019, 00:53	Salek5	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Zahlen mit zusätzlichem Punkt, hausdorffsch und nicht metrisch? Meine Frage: Hallo, ich habe seit diesem Semester Analysis II und habe bei einigen Übungsaufgaben noch Probleme, unter anderem bei folgender: Es sei $\begin{eqnarray} X=\mathbb{R}\cup\left\{\ast\right\} \end{eqnarray}$ die Vereinigung von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit einem zusätzlichen Punkt $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ . Wir nennen eine Teilmenge $\begin{eqnarray} U\subset X \end{eqnarray}$ offen, falls sie eine der folgenden Eigenschaften hat: (i) $\begin{eqnarray} U\subset\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist offen in der üblichen Topologie von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , (ii) $\begin{eqnarray} U=\left(V\setminus\left\{0\right\}\right)\cup\left\{\ast\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} V\subset\mathbb{R} \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} 0\in V \end{eqnarray}$ , (iii) $\begin{eqnarray} U=V\cup\left\{\ast\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} V\subset\mathbb{R} \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} 0\in V \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: (a) Dies definiert eine Topologie auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die nicht Hausdorffsch ist. Insbesondere ist diese Topologie nicht metrisch. (b) Die Folge $\begin{eqnarray} x_n=1/n \end{eqnarray}$ konvergiert in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Was sind die möglichen Grenzwerte? Zu (a): Zu zeigen, dass dies eine Topologie definiert, sollte nicht zu schwierig sein. Man müsste zeigen, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ offen sind und dass die Vereinigung beliebig vieler und der Durchschnitt endlich vieler Teilmengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ wieder offen sind. Aber wie zeige ich, dass diese Topologie nicht Hausdorffsch ist und dass sie nicht metrisch ist? Meine Ideen: Zu (a): In den Eigenschaften (ii) und (iii) steht immer, dass $\begin{eqnarray} 0\in V \end{eqnarray}$ sein muss. Dies trifft auf alle offenen Teilmengen zu, die $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ enthalten. Ich würde deswegen ja fast vermuten, dass jede Umgebung von $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ entält, aber das würde ja der Bedingung (ii) widersprechen, denn dort ist ja $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ offen, enthält aber die null nicht. $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ muss aber immer offen sein und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ enthalten, auch wenn $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sie nicht enthält. Es sieht für mich so aus, als würden die Umgebungen von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ immer gemeinsame Elemente enthalten, wonach ihre Schnittmenge nicht leer wäre. Damit wäre die Topologie natürlich nicht Hausdorffsch, aber ich schaffe es leider nicht, das alles genau zu begründen und richtig aufzuschreiben. Wenn das dann aber doch mal erledigt ist, wie zeige ich dann, dass dies nicht metrisch ist? Hierzu habe ich leider keine vernünftige Idee... Zu (b): Unsere Definition für Konvergenz in nicht metrischen, topologischen Räumen ist: Seien $\begin{eqnarray} \left(X,\tau\right) \end{eqnarray}$ ein topologischer Raum, $\begin{eqnarray} \left(x_k\right)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\in X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \left(x_k\right) \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \left(X,\tau\right) \end{eqnarray}$ , falls zu jeder Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} x_k\in U \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\ge N \end{eqnarray}$ . Das müsste ja schonmal auf $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ zutreffen, denn wie in den (ganz normalen) reellen Zahlen kommen die Folgenglieder ja immer näher an die null heran, also sollte ja auch jede Umgebung der null ab einem bestimmten Index $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ alle weiteren Folgenglieder enthalten. Aber da es keine Umgebungen von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ gibt, deren Durchschnitt leer ist, denke ich, dass auch in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ ab einem bestimmten Index alle weiteren Folgenglieder liegen. Aber auch hier wieder die Frage, wie zeigt und formuliert man das alles korrekt? Vielleicht liege ich ja mit meinen Ideen auch ganz falsch, aber es scheint für mich anschaulich betrachtet auf dem Zahlenstrahl (mit $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ast \end{eqnarray}$ an der gleichen Position) alles Sinn zu machen. Die Übertragung in die mathematische bzw. topologische Denkweise schaffe ich aber nicht. Vielen Dank schonmal im Voraus. Latex-Korrekturen in den 1. Beitrag übertragen. Antwortzähler auf 0 gesetzt. klauss
12.04.2019, 02:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reelle Zahlen mit zusätzlichem Punkt, hausdorffsch und nicht metrisch? zu a) Eine Umgebung U von * kann nur vom Typ (ii) oder (iii) sein. Bei (iii) ist man fertig, weil soger $\begin{eqnarray} 0\in U \end{eqnarray}$ ist. Ist U vom Typ (ii), kann man sich überlegen, dass für eine Umgebung V der 0 zwangsläufig $\begin{eqnarray} U\cap V\neq \emptyset \end{eqnarray}$ sein muss. Wenn die Topologie nicht Hausdorffsch ist, kann sie nicht metrisierbar sein. Das ergibt sich durch einen simplen Widerspruchsbeweis.
13.04.2019, 05:04	Salek5	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reelle Zahlen mit zusätzlichem Punkt, hausdorffsch und nicht metrisch? Ah, jetzt ist mir alles klar. Das war ja doch wieder eine mehr oder weniger direkt zu lösende Aufgabe. Vielen Dank für die Hilfe.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »