Anfangswertproblem

12.04.2019, 12:49	Jans21	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Meine Frage: Hallo folgende Aufgabe: Zeigen Sie das $\begin{eqnarray} p(t)=\frac{\alpha p_{0}}{\beta p_{0}+(\alpha-\beta p_{0})e^{-\alpha(t-t_{0}}} \end{eqnarray}$ das folgende Anfangswertproblem löst: $\begin{eqnarray} p(t_{0})=p_{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p'(t)=\alpha p(t)-\beta p^{2}(t) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Naja das erste ist einfach setzt man für t=t0 ein so kommt man auf p_{0}. Nun wenn ich die Ableitung von p(t= berechne komme ich nicht auf $\begin{eqnarray} p'(t)=\alpha p(t)-\beta p^{2}(t) \end{eqnarray}$ . Ich komme auf $\begin{eqnarray} p'(t)=\alpha \frac{\alpha p_{0}e^{-\alpha(t-t_{0})} }{\beta p_{0}+(\alpha-\beta p_{0})e^{-\alpha(t-t_{0}}} - \beta \frac{\alpha^2 p^2_{0}e^{-\alpha(t-t_{0})} }{(\beta p_{0}+(\alpha-\beta p_{0})e^{-\alpha(t-t_{0}})^2} \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} e^{-\alpha(t-t_{0})} \end{eqnarray}$ stört hier. Wie kriege ich das weg? Ich habe daran gedacht t=t0 einzusetzen, weil dann wäre es ja 1, aber dann müsste ich es ja auch im nenner einsetzen und somit wäre dies nicht mehr p(t).
12.04.2019, 14:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast. Bei mir ist: $\begin{eqnarray} p'(t) = - \frac{\alpha p_0 \cdot (\alpha - \beta p_0)e^{-\alpha(t -t_0)} \cdot (-\alpha)}{\left(\beta p_0 + (\alpha - \beta p_0)e^{-\alpha(t -t_0)} \right)^2} = \alpha^2 p_0 \cdot \frac{\beta p_0 + (\alpha - \beta p_0)e^{-\alpha(t -t_0)} - \beta p_0}{\left(\beta p_0 + (\alpha - \beta p_0)e^{-\alpha(t -t_0)} \right)^2} \end{eqnarray}$ Jetzt noch auseinanderziehen und kürzen.

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